Conjugates of Transpositions

Theorem
Let $$k_1, k_2, k_3 \in \mathbb{N}^*_n$$.

Then:
 * $$\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix}$$;


 * $$\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix}$$.

Proof

 * Calculating the product of $$\begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix}$$, we see:


 * $$k_1 \to k_3 \to k_2$$
 * $$k_2 \to k_3 \to k_1$$
 * $$k_3 \to k_2 \to k_3$$

hence the result.


 * Calculating the product of $$\begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix}$$, we see:


 * $$k_1 \to k_3 \to k_2$$
 * $$k_2 \to k_3 \to k_1$$
 * $$k_3 \to k_1 \to k_3$$

hence the result.