Goldbach implies Bertrand

Goldbach => Bertrand

Im Folgenden liefere ich einen Wechselbeweis zu Betrand und der Goldbachschen Vermutung

Beweis der Goldbachschen Vermutung durch Widerspruch zum Satz v. Bertrand zur Primzahllücke

Von Maik Becker-Sievert

Goldbachsche Vermutung

Unter der Goldbachschen Vermutung wird heute allgemein die Behauptung verstanden:

Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.

("binäre" oder "starke" goldbachsche Vermutung.)

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Satz von Bertrand

Zwischen jeder natürlichen Zahl n und 2n liegt eine Primzahl p(n>1)

n2 unerfüllbar ist, müssen folgende Bedingungen gegeben sein:

Definition:

2n sei die gesuchte natürliche Zahl und n genau die Hälfte dieser Zahl

Sei zwischen den Primzahlen (P) Π und Πi mit Π<Πi eine Primzahllücke in der n und 2n liegen mit

1. Π muß kleiner als n sein 2. Πi muß größer 2n sein

Es ist logisch, dass es keine Summe von nur 2 Primzahlen geben kann, die 2n ergeben, da alle Primzahlen bis auf Πi kleiner als n sind und Πi bereits größer als 2n ist.

Wir haben also eine natürliche gerade Zahl 2n und n dieser Zahl definiert, die der Goldbachschen Vermutung widersprechen würde, da es keine Summe zweier Primzahlen gibt, die 2n ergeben könnte.

2. Die Primzahllücke Π bis Πi ∈ N

Grafik: Natürliche Zahlenstrahl

0---pin2n---pii->

Primzahllücke

3. Beweisschluß

Nach dem Satz von Bertrand folgt:

Für jedes n>1 gilt: zwischen n und 2n liegt wenigstens eine Primzahl

Hieraus folgt, dass in der definierten Primzahllücke, die der Goldbachschen Vermutung widerspricht, eine Primzahl liegen muss, da n und 2n in dieser Lücke liegen.

Das steht im Widerspruch zur Annahme, dass diese eine Primzahllücke sei.

Hieraus folgt, dass die Goldbachsche Vermutung wahr ist und umgekehrt der Satz von Bertrand

q.e.d.

Maik Becker-Sievert

English

Proof of Goldbach Conjection by contradiction to the sentence v. Bertrand to the prime number gap

From Maik Becker-Sievert

Goldbachs Conjection

Every even number greater than 2 can be written as a sum of two prime numbers.

("binary" or "strong" goldbach conjection)

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Sentence of Bertrand

Between every natural number n and 2n lies a prime number p (n > 1)

n  2, the following conditions must be true:

Definition:

2n and n stands  between the prime numbers (P) Π and Πi with Π < Πi

A. Π must be smaller than n B. Πi must be greater 2n

It is logical that there can be no sum of only 2 prime numbers that match Goldbach because Π is smaller then n and Πi is greater then 2n

We have defined a natural even number 2n and n of this number which would contradict Goldbach, because there is no sum of two prime numbers which could prove 2n.

2. The prime number gap Π to Πi ∈ N

Graphics:

0---pin2n---pii->

Prime number gap

3. Proof end

After the sentence of Bertrand follows:

with n> 1: between n and 2n lies at least one prime number

Out of this follows that in the defined prime number gap which contradicts the Goldach Conjecture a prime number must lie, because n and 2n lie in this gap.

This stands in the contradiction to the acceptance that this prime number gap exist

Out of this follows that the Goldbach Conjectur is true and vice versa the sentence of Bertrand

q.e.d.

Maik Becker-Sievert