Conjugates of Transpositions

Theorem
Let $k_1, k_2, k_3 \in \N^*_n$.

Then:
 * $\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix}$;


 * $\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix}$.

Proof

 * Calculating the product of $\begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix}$, we see:


 * $k_1 \to k_3 \to k_2$
 * $k_2 \to k_3 \to k_1$
 * $k_3 \to k_2 \to k_3$

hence the result.


 * Calculating the product of $\begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix}$, we see:


 * $k_1 \to k_3 \to k_2$
 * $k_2 \to k_3 \to k_1$
 * $k_3 \to k_1 \to k_3$

hence the result.