Conjugates of Transpositions

Theorem
Let $k_1, k_2, k_3 \in \left\{{1, 2, \ldots, n}\right\}$.

Then:
 * $(1): \quad \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix}$


 * $(2): \quad \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix}$

Proof
$(1):$ Calculating the product of $\begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix}$:


 * $k_1 \to k_3 \to k_2$
 * $k_2 \to k_3 \to k_1$
 * $k_3 \to k_2 \to k_3$

hence the result.

$(2):$ Calculating the product of $\begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix}$:


 * $k_1 \to k_3 \to k_2$
 * $k_2 \to k_3 \to k_1$
 * $k_3 \to k_1 \to k_3$

hence the result.