# 1+2+...+n+(n-1)+...+1 = n^2/Proof 1

$\forall n \in \N: 1 + 2 + \cdots + n + \paren {n - 1} + \cdots + 1 = n^2$
 $\ds$  $\ds 1 + 2 + \cdots + \paren {n - 1} + n + \paren {n - 1} + \cdots + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 1 + 2 + \cdots + \paren {n - 1} + \paren {n - 1} + \cdots + 1 + n$ $\ds$ $=$ $\ds 2 \paren {1 + 2 + \cdots + \paren {n - 1} } + n$ $\ds$ $=$ $\ds 2 \paren {\frac {\paren {n - 1} n} 2} + n$ Closed Form for Triangular Numbers $\ds$ $=$ $\ds \paren {n - 1} n + n$ $\ds$ $=$ $\ds n^2 - n + n$ $\ds$ $=$ $\ds n^2$
$\blacksquare$