# 1+2+...+n+(n-1)+...+1 = n^2/Proof 4

## Theorem

$\forall n \in \N: 1 + 2 + \cdots + n + \paren {n - 1} + \cdots + 1 = n^2$

## Proof

Let $T_n = 1 + 2 + \cdots + n + \paren {n - 1} + \cdots + 1$.

We have $T_1 = 1$

and

 $\ds T_n - T_{n - 1}$ $=$ $\ds \paren {1 + 2 + \cdots + n + \paren {n - 1} + \cdots + 1 }$ Definition of $T_n$ $\ds$  $\, \ds - \,$ $\ds \paren {1 + 2 + \cdots + \paren {n - 1} + \paren {n - 2} + \cdots + 1}$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {\paren {1 + 2 + \cdots + n} - \paren {1 + 2 + \cdots + \paren {n - 1} } }$ Integer Addition is Associative $\ds$  $\, \ds + \,$ $\ds \paren {\paren {\paren {n - 1} + \paren {n - 2} + \cdots + 1} - \paren {\paren {n - 2} + \paren {n - 3} + \cdots + 1} }$ Integer Addition is Commutative $\ds$ $=$ $\ds n + \paren {n - 1}$ simplifying $\ds$ $=$ $\ds 2 n - 1$

Thus we have:

 $\ds T_n$ $=$ $\ds \paren {T_n - T_{n - 1} } + \paren {T_{n - 1} - T_{n - 2} } + \cdots + \paren {T_2 - T_1} + T_1$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {2 n - 1} + \paren {2 \paren {n - 1} - 1} + \cdots + \paren {2 \times 2 - 1} + 1$ $\ds$ $=$ $\ds \sum_{k \mathop = 1}^n 2 k - 1$ $\ds$ $=$ $\ds n^2$ Odd Number Theorem

$\blacksquare$