# 4-Digit Numbers forming Longest Reverse-and-Add Sequence

## Theorem

Let $m \in \Z_{>0}$ be a positive integer expressed in decimal notation.

Let $r \left({m}\right)$ be the reverse-and-add process on $m$.

Let $r$ be applied iteratively to $m$.

The $4$-digit integers $m$ which need the largest number of iterations before reaching a palindromic number are:

$6999, 7998, 8997, 9996$

all of which need $20$ iterations.

## Proof

 $\text {(1)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 6999 + 9996 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 16995$ $\text {(2)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 16995 + 59961 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 76956$ $\text {(3)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 76956 + 65967 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 142923$ $\text {(4)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 142923 + 329241 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 472164$ $\text {(5)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 472164 + 461274 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 933438$ $\text {(6)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 933438 + 834339 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 1767777$ $\text {(7)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 1767777 + 7777671 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 9545448$ $\text {(8)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 9545448 + 8445459 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 17990907$ $\text {(9)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 17990907 + 70909971 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 88900878$ $\text {(10)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 88900878 + 87800988 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 176701866$ $\text {(11)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 176701866 + 668107671 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 844809537$ $\text {(12)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 844809537 + 735908448 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 1580717985$ $\text {(13)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 1580717985 + 5897170851 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 7477888836$ $\text {(14)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 7477888836 + 6388887747 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 13866776583$ $\text {(15)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 13866776583 + 38567766831 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 52434543414$ $\text {(16)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 52434543414 + 41434543425 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 93869086839$ $\text {(17)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 93869086839 + 93868096839 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 187737183678$ $\text {(18)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 187737183678 + 876381737781 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 1064118921459$ $\text {(19)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 1064118921459 + 9541298114601 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 10605417036060$ $\text {(20)}: \quad$ $\ds$  $\, \ds 10605417036060 + 06063071450601 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 16668488486661$

which is palindromic.

$7998$ and its reversal converge on the same sequence immediately:

 $\ds 7998 + 8997$ $=$ $\ds 16995$