5 Numbers such that Sum of any 3 is Square

Theorem

This set of $5$ integers has the property that the sum of any $3$ of them is square:

 $\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931$  $\ds$ $\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947$  $\ds$ $\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222$  $\ds$ $\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747$  $\ds$ $\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347$  $\ds$

Proof

Taking the $\dbinom 5 3 = 10$ subsets of $3$ integers at a time:

 $\text {(1)}: \quad$ $\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222$ $=$ $\ds 187 \, 949 \, 817 \, 467 \, 526 \, 392 \, 100$ $\ds$ $=$ $\ds 13 \, 709 \, 479 \, 110^2$

 $\text {(2)}: \quad$ $\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747$ $=$ $\ds 256 \, 195 \, 895 \, 861 \, 438 \, 330 \, 625$ $\ds$ $=$ $\ds 16 \, 006 \, 120 \, 575^2$

 $\text {(3)}: \quad$ $\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347$ $=$ $\ds 589 \, 467 \, 277 \, 868 \, 756 \, 256 \, 225$ $\ds$ $=$ $\ds 24 \, 278 \, 947 \, 215^2$

 $\text {(4)}: \quad$ $\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747$ $=$ $\ds 330 \, 583 \, 710 \, 532 \, 830 \, 876 \, 900$ $\ds$ $=$ $\ds 18 \, 181 \, 961 \, 130^2$

 $\text {(5)}: \quad$ $\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347$ $=$ $\ds 663 \, 855 \, 092 \, 540 \, 148 \, 802 \, 500$ $\ds$ $=$ $\ds 25 \, 765 \, 385 \, 550^2$

 $\text {(6)}: \quad$ $\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347$ $=$ $\ds 732 \, 101 \, 170 \, 934 \, 060 \, 741 \, 025$ $\ds$ $=$ $\ds 27 \, 057 \, 368 \, 145^2$

 $\text {(7)}: \quad$ $\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747$ $=$ $\ds 348 \, 256 \, 226 \, 963 \, 544 \, 806 \, 916$ $\ds$ $=$ $\ds 18 \, 661 \, 624 \, 446^2$

 $\text {(8)}: \quad$ $\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347$ $=$ $\ds 681 \, 527 \, 608 \, 970 \, 862 \, 732 \, 516$ $\ds$ $=$ $\ds 26 \, 106 \, 083 \, 754^2$

 $\text {(9)}: \quad$ $\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347$ $=$ $\ds 749 \, 773 \, 687 \, 364 \, 774 \, 671 \, 041$ $\ds$ $=$ $\ds 27 \, 381 \, 995 \, 679^2$

 $\text {(10)}: \quad$ $\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747$  $\ds$ $\, \ds + \,$ $\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347$ $=$ $\ds 824 \, 161 \, 502 \, 036 \, 167 \, 217 \, 316$ $\ds$ $=$ $\ds 28 \, 708 \, 213 \, 146^2$

$\blacksquare$