# Absolute Value Function is Completely Multiplicative/Proof 1

## Theorem

The absolute value function on the real numbers $\R$ is completely multiplicative:

$\forall x, y \in \R: \left\vert{x y}\right\vert = \left\vert{x}\right\vert \, \left\vert{y}\right\vert$

where $\left \vert{a}\right \vert$ denotes the absolute value of $a$.

## Proof

Let $x = 0$ or $y = 0$.

Then:

 $\ds x y$ $=$ $\ds 0$ $\text {(1)}: \quad$ $\ds \implies \ \$ $\ds \left\vert{x y}\right\vert$ $=$ $\ds 0$

and either $\left\vert{x}\right\vert = 0$ or $\left\vert{y}\right\vert = 0$ and so:

 $\ds \left\vert{x}\right\vert \, \left\vert{y}\right\vert$ $=$ $\ds 0$ $\ds$ $=$ $\ds \left\vert{x y}\right\vert$ from $(1)$ above

$\Box$

Let $x > 0$ and $y > 0$.

Then:

 $\ds \left\vert{x}\right\vert$ $=$ $\ds x$ $\, \ds \land \,$ $\ds \left\vert{y}\right\vert$ $=$ $\ds y$ $\ds \implies \ \$ $\ds \left\vert{x}\right\vert \, \left\vert{y}\right\vert$ $=$ $\ds x y$

and:

 $\ds x y$ $>$ $\ds 0$ $\ds \left\vert{x y}\right\vert$ $=$ $\ds x y$ Definition of Absolute Value $\ds$ $=$ $\ds \left\vert{x}\right\vert \, \left\vert{y}\right\vert$

$\Box$

Let $x < 0$ and $y < 0$.

Then:

 $\ds \left\vert{x}\right\vert$ $=$ $\ds -x$ $\, \ds \land \,$ $\ds \left\vert{y}\right\vert$ $=$ $\ds -y$ $\ds \implies \ \$ $\ds \left\vert{x}\right\vert \, \left\vert{y}\right\vert$ $=$ $\ds \left({-x}\right) \left({-y}\right)$ $\ds$ $=$ $\ds x y$

and:

 $\ds x y$ $>$ $\ds 0$ $\ds \left\vert{x y}\right\vert$ $=$ $\ds x y$ Definition of Absolute Value $\ds$ $=$ $\ds \left\vert{x}\right\vert \, \left\vert{y}\right\vert$

$\Box$

Let $x < 0$ and $y > 0$.

Then:

 $\ds \left\vert{x}\right\vert$ $=$ $\ds - x$ $\, \ds \land \,$ $\ds \left\vert{y}\right\vert$ $=$ $\ds y$ $\ds \implies \ \$ $\ds \left\vert{x}\right\vert \, \left\vert{y}\right\vert$ $=$ $\ds - x y$

and:

 $\ds x y$ $<$ $\ds 0$ $\ds \left\vert{x y}\right\vert$ $=$ $\ds - x y$ Definition of Absolute Value $\ds$ $=$ $\ds \left\vert{x}\right\vert \, \left\vert{y}\right\vert$

$\Box$

The same argument, mutatis mutandis, covers the case where $x > 0$ and $y < 0$.

$\blacksquare$