# Canonical P-adic Expansion of Rational is Eventually Periodic/Lemma 11

## Theorem

Let $p$ be a prime number.

Let $a \in \Z, b \in Z_{> 0}$

Let:

$\forall n \in \N: \exists r_n \in \Z : \dfrac a b - \paren{p^{n + 1} \dfrac {r_n} b} \in \set{0, 1, \ldots, p^{n + 1} - 1}$

Then:

$\forall n \in \N : \dfrac {a - \paren {p^{n + 1} - 1} b } {p^{n + 1} } \le r_n \le \dfrac a {p^{n + 1} }$

## Proof

We have:

 $\ds 0$ $\le$ $\, \ds \dfrac a b - \paren{p^{n + 1} \dfrac {r_n} b} \,$ $\, \ds \le \,$ $\ds p^{n + 1} - 1$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds -\paren {p^{n + 1} - 1}$ $\le$ $\, \ds \paren{p^{n + 1} \dfrac {r_n} b} - \dfrac a b \,$ $\, \ds \le \,$ $\ds 0$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds -\paren {p^{n + 1} - 1} b$ $\le$ $\, \ds p^{n + 1} r_n - a \,$ $\, \ds \le \,$ $\ds 0$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds a - \paren {p^{n + 1} - 1} b$ $\le$ $\, \ds p^{n + 1} r_n \,$ $\, \ds \le \,$ $\ds a$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds \dfrac {a - \paren {p^{n + 1} - 1} b} {p^{n + 1} }$ $\le$ $\, \ds r_n \,$ $\, \ds \le \,$ $\ds \dfrac a {p^{n + 1} }$

The result follows.

$\blacksquare$