# Complex Conjugate Coordinates/Examples/4x^2 + 16y^2 = 25

## Example of Complex Conjugate Coordinates

$4 x^2 + 16 y^2 = 25$

can be expressed in complex conjugate coordinates as:

$3 \paren {z^2 + \overline z^2} - 10 z \overline z + 25 = 0$

## Proof

This can be written in the form:

$a \paren {x^2 + y^2} + 2 b \paren {x^2 - y^2} = 25$

where:

 $\ds a + 2 b$ $=$ $\ds 4$ $\ds a - 2 b$ $=$ $\ds 16$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds 2 a$ $=$ $\ds 20$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds a$ $=$ $\ds 10$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds 2 b$ $=$ $\ds -6$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds b$ $=$ $\ds -3$

This is because:

 $\ds x^2 + y^2$ $=$ $\ds z \overline z$ $\ds 2 \paren {x^2 - y^2}$ $=$ $\ds z^2 + \overline z^2$

So:

 $\ds 4 x^2 + 16 y^2$ $=$ $\ds 25$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds 10 \paren {x^2 + y^2} + 2 \paren {-3} \paren {x^2 - y^2}$ $=$ $\ds 25$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds 10 z \overline z - 3 \paren {z^2 + \overline z^2}$ $=$ $\ds 25$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds 3 \paren {z^2 + \overline z^2} - 10 z \overline z + 25$ $=$ $\ds 0$

$\blacksquare$