# Complex Dot Product/Examples/3-4i dot -4+3i

## Examples of Complex Dot Product

Let:

$z_1 = 3 - 4 i$
$z_2 = -4 + 3 i$

Then:

$z_1 \circ z_2 = -24$

where $\circ$ denotes (complex) dot product.

## Proof 1

 $\ds z_1 \circ z_2$ $=$ $\ds \map \Re {\overline {z_1} z_2}$ Definition 3 of Dot Product $\ds$ $=$ $\ds \map \Re {\paren {3 + 4 i} \paren {-4 + 3 i} }$ Definition of Complex Conjugate $\ds$ $=$ $\ds \map \Re {3 \times \paren {-4} - 4 \times 3 + \paren {3 \times 3 + 4 \times \paren {-4} } i}$ Definition of Complex Multiplication $\ds$ $=$ $\ds -12 + -12$ $\ds$ $=$ $\ds -24$

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## Proof 2

 $\ds z_1 \circ z_2$ $=$ $\ds \paren {3 - 4 i} \circ \paren {-4 + 3 i}$ $\ds$ $=$ $\ds 3 \times \paren {-4} + \paren {-4} \times 3$ Definition 1 of Dot Product $\ds$ $=$ $\ds -12 + -12$ $\ds$ $=$ $\ds -24$

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