# Consecutive Integers whose Sums of Squares of Divisors are Equal

Jump to navigation Jump to search

## Theorem

The only two consecutive positive integers whose sums of the squares of their divisors are equal are $6$ and $7$.

## Proof

The divisors of $6$ are

$1, 2, 3, 6$

and so the sum of the squares of the divisors of $6$ is:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + 6^2 = 1 + 4 + 9 + 36 = 50$

The divisors of $7$ are

$1, 7$

and so the sum of the squares of the divisors of $7$ is:

$1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50$

It remains to be shown that there are no more.

Let $n \ge 7$ be an odd number.

Then both $n - 1$ and $n + 1$ are even.

Denote $\map {\sigma_2} n$ the sum of squares of the divisors of $n$.

We will show that:

$\map {\sigma_2} {n + 1} > \map {\sigma_2} n$
$\map {\sigma_2} {n - 1} > \map {\sigma_2} n$ for $n \ge 151$

Since:

 $\ds \map {\sigma_2} n$ $=$ $\ds \sum_{d \mathop \divides n} d^2$ $\ds$ $=$ $\ds \sum_{d \mathop \divides n} \paren {\frac n d}^2$ $\ds$ $=$ $\ds n^2 \sum_{d \mathop \divides n} \paren {\frac 1 d}^2$ $\ds$ $<$ $\ds n^2 \sum_{d \text{ odd} } \paren {\frac 1 d}^2$ since $n$ is odd $\ds$ $=$ $\ds \frac {n^2 \pi^2} 8$ Sum of Reciprocals of Squares of Odd Integers $\ds \map {\sigma_2} {n \pm 1}$ $=$ $\ds \sum_{d \mathop \divides n \pm 1} d^2$ $\ds$ $\ge$ $\ds 1^2 + 2^2 + \paren {\frac {n \pm 1} 2}^2 + \paren {n \pm 1}^2$ since $n \pm 1$ is even and $n - 1 > 4$ $\ds$ $=$ $\ds \frac 5 4 n^2 \pm \frac 5 2 n + \frac {15} 2$

Therefore:

 $\ds \map {\sigma_2} {n + 1}$ $=$ $\ds \frac 5 4 n^2 + \frac 5 2 n + \frac {15} 2$ $\ds$ $>$ $\ds \frac {\pi^2} 8 n^2$ $\ds$ $>$ $\ds \map {\sigma_2} n$

and for $n - 1$:

$\map {\sigma_2} {n - 1} - \map {\sigma_2} n = \dfrac {10 - \pi^2} 8 n^2 - \dfrac 5 2 n + \dfrac {15} 2$

By Solution to Quadratic Equation, the above is greater than zero when:

$n > \dfrac {\paren {5/2} + \sqrt {\paren {5/2}^2 - 4 \paren {\paren {10 - \pi^2} / 8} \paren {15/2} } } {2 \paren {\paren {10 - \pi^2} / 8} } \approx 150.3$

hence there are no solutions for $\map {\sigma_2} {n - 1} = \map {\sigma_2} n$ for $n \ge 151$.

Our estimate of $\map {\sigma_2} n$ is very rough.

If $n$ is one of the following, we can get sharper estimates:

Suppose $n = p^k$ for a prime $p \ge 3$ and $k \ge 1$.

Then:

 $\ds \map {\sigma_2} n$ $=$ $\ds \sum_{i \mathop = 0}^k p^{2 i}$ Divisors of Power of Prime $\ds$ $=$ $\ds n^2 \sum_{i \mathop = 0}^k \frac 1 {p^{2 i} }$ $\ds$ $<$ $\ds n^2 \sum_{i \mathop = 0}^\infty \frac 1 {p^{2 i} }$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {n^2} {1 - \frac 1 {p^2} }$ Sum of Infinite Geometric Sequence/Corollary 2 $\ds$ $=$ $\ds n^2 \paren {1 + \frac 1 {p^2 - 1} }$ $\ds$ $\le$ $\ds n^2 \paren {1 + \frac 1 {3^2 - 1} }$ $\ds$ $=$ $\ds \frac 9 8 n^2$

We have:

 $\ds \map {\sigma_2} {n - 1} - \map {\sigma_2} n$ $>$ $\ds \paren {\frac 5 4 - \frac 9 8} n^2 - \frac 5 2 n + \frac {15} 2$ $\ds$ $=$ $\ds \frac 1 8 \paren {n^2 - 20 n + 60}$ $\ds$ $=$ $\ds \frac 1 8 \paren {n - 10}^2 - 5$

The above is greater than $0$ when $n \ge 17$.

Suppose $n = p q$, where $p, q \ge 3$ are primes and $p \ne q$.

Then:

 $\ds \map {\sigma_2} n$ $=$ $\ds 1^2 + p^2 + q^2 + p^2 q^2$ Product of Two Distinct Primes has 4 Positive Divisors $\ds$ $=$ $\ds n^2 \paren {1 + \frac 1 {p^2} + \frac 1 {q^2} + \frac 1 {n^2} }$ $\ds$ $\le$ $\ds n^2 \paren {1 + \frac 1 {3^2} + \frac 1 {5^2} + \frac 1 {15^2} }$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {52} {45} n^2$ $\ds$ $<$ $\ds \frac 9 8 n^2$

We have:

 $\ds \map {\sigma_2} {n - 1} - \map {\sigma_2} n$ $>$ $\ds \paren {\frac 5 4 - \frac 52 45} n^2 - \frac 5 2 n + \frac {15} 2$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {17} {180} \paren {n^2 - \frac {450} {17} n} + \frac {15} 2$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {17} {180} \paren {n - \frac {225} {17} }^2 - \frac {615} {68}$

The above is greater than $0$ when $n \ge 25$.

Therefore we just need to check the following $n \le 149$:

$3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21, 45, 63, 75, 99, 105, 117, 135, 147$
 $\ds \map {\sigma_2} 1$ $=$ $\ds 1^2$ $\ds$ $=$ $\ds 1$ $\ds \map {\sigma_2} 2$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2$ $\ds$ $=$ $\ds 5$ $\ds \map {\sigma_2} 3$ $=$ $\ds 1^2 + 3^3$ $\ds$ $=$ $\ds 10$ $\ds \map {\sigma_2} 4$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 4^2$ $\ds$ $=$ $\ds 21$ $\ds \map {\sigma_2} 5$ $=$ $\ds 1^2 + 5^2$ $\ds$ $=$ $\ds 26$ $\ds \map {\sigma_2} 6$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 3^2 + 6^2$ $\ds$ $=$ $\ds 50$ $\ds \map {\sigma_2} 7$ $=$ $\ds 1^2 + 7^2$ $\ds$ $=$ $\ds 50$ $\ds \map {\sigma_2} 8$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 4^2 + 8^2$ $\ds$ $=$ $\ds 85$ $\ds \map {\sigma_2} 9$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 9^2$ $\ds$ $=$ $\ds 91$ $\ds \map {\sigma_2} {10}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 5^2 + 10^2$ $\ds$ $=$ $\ds 130$ $\ds \map {\sigma_2} {11}$ $=$ $\ds 1^2 + 11^2$ $\ds$ $=$ $\ds 122$ $\ds \map {\sigma_2} {12}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2$ $\ds$ $=$ $\ds 210$ $\ds \map {\sigma_2} {13}$ $=$ $\ds 1^2 + 13^2$ $\ds$ $=$ $\ds 170$ $\ds \map {\sigma_2} {14}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 7^2 + 14^2$ $\ds$ $=$ $\ds 250$ $\ds \map {\sigma_2} {15}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 5^2 + 15^2$ $\ds$ $=$ $\ds 260$ $\ds \map {\sigma_2} {20}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 4^2 + 5^2 + 10^2 + 20^2$ $\ds$ $=$ $\ds 546$ $\ds \map {\sigma_2} {21}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 7^2 + 21^2$ $\ds$ $=$ $\ds 500$ $\ds \map {\sigma_2} {44}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 4^2 + 11^2 + 22^2 + 44^2$ $\ds$ $=$ $\ds 2562$ $\ds \map {\sigma_2} {45}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 5^2 + 9^2 + 15^2 + 45^2$ $\ds$ $=$ $\ds 2366$ $\ds \map {\sigma_2} {62}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 31^2 + 62^2$ $\ds$ $=$ $\ds 4810$ $\ds \map {\sigma_2} {63}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 7^2 + 9^2 + 21^2 + 63^2$ $\ds$ $=$ $\ds 4550$ $\ds \map {\sigma_2} {74}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 37^2 + 74^2$ $\ds$ $=$ $\ds 6850$ $\ds \map {\sigma_2} {75}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 5^2 + 15^2 + 25^2 + 75^2$ $\ds$ $=$ $\ds 6510$ $\ds \map {\sigma_2} {98}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 7^2 + 14^2 + 49^2 + 98^2$ $\ds$ $=$ $\ds 12255$ $\ds \map {\sigma_2} {99}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 9^2 + 11^2 + 33^2 + 99^2$ $\ds$ $=$ $\ds 11102$ $\ds \map {\sigma_2} {104}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 4^2 + 8^2 + 13^2 + 26^2 + 52^2 + 104^2$ $\ds$ $=$ $\ds 14450$ $\ds \map {\sigma_2} {105}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 15^2 + 21^2 + 35^2 + 105^2$ $\ds$ $=$ $\ds 13000$ $\ds \map {\sigma_2} {116}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 4^2 + 29^2 + 58^2 + 116^2$ $\ds$ $=$ $\ds 17682$ $\ds \map {\sigma_2} {117}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 9^2 + 13^2 + 39^2 + 117^2$ $\ds$ $=$ $\ds 15470$ $\ds \map {\sigma_2} {134}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 67^2 + 134^2$ $\ds$ $=$ $\ds 22450$ $\ds \map {\sigma_2} {135}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 5^2 + 9^2 + 15^2 + 27^2 + 45^2 + 135^2$ $\ds$ $=$ $\ds 21320$ $\ds \map {\sigma_2} {146}$ $=$ $\ds 1^2 + 2^2 + 73^2 + 146^2$ $\ds$ $=$ $\ds 26650$ $\ds \map {\sigma_2} {147}$ $=$ $\ds 1^2 + 3^2 + 7^2 + 21^2 + 49^2 + 147^2$ $\ds$ $=$ $\ds 24510$

and thus the only pair is $\map {\sigma_2} 6 = \map {\sigma_2} 7 = 50$.

We have also inadvertently proved that $\map {\sigma_2} {2 n} > \map {\sigma_2} {2 n + 1}$ for $n \ge 8$.

$\blacksquare$