# Definition:First Lemniscate Constant

 $\ds L_1$ $=$ $\ds \int_0^1 \dfrac {\d x} {\sqrt {1 - x^4} }$ $\ds$ $=$ $\ds \dfrac 1 2 \int_0^\pi \dfrac {\d \theta} {\sqrt {1 + \sin^2 \theta} }$ $\ds$ $=$ $\ds \dfrac 1 {4 \sqrt {2 \pi} } \paren {\map \Gamma {\dfrac 1 4} }^2$ $\ds$ $\approx$ $\ds 1 \cdotp 31102 \, 87771 \, 46059 \, 90523 \ldots$