Definition:Truth Function/Connective

Definition

The logical connectives are assumed to be truth-functional.

Hence, they are represented by certain truth functions.

Logical Negation

The logical not connective defines the truth function $f^\neg$ as follows:

 $\ds \map {f^\neg} \F$ $=$ $\ds \T$ $\ds \map {f^\neg} \T$ $=$ $\ds \F$

Logical Conjunction

The conjunction connective defines the truth function $f^\land$ as follows:

 $\ds \map {f^\land} {\F, \F}$ $=$ $\ds \F$ $\ds \map {f^\land} {\F, \T}$ $=$ $\ds \F$ $\ds \map {f^\land} {\T, \F}$ $=$ $\ds \F$ $\ds \map {f^\land} {\T, \T}$ $=$ $\ds \T$

Logical Disjunction

The disjunction connective defines the truth function $f^\lor$ as follows:

 $\ds \map {f^\lor} {\F, \F}$ $=$ $\ds \F$ $\ds \map {f^\lor} {\F, \T}$ $=$ $\ds \T$ $\ds \map {f^\lor} {\T, \F}$ $=$ $\ds \T$ $\ds \map {f^\lor} {\T, \T}$ $=$ $\ds \T$

Conditional

The conditional connective defines the truth function $f^\to$ as follows:

 $\ds f^\to \left({F, F}\right)$ $=$ $\ds T$ $\ds f^\to \left({F, T}\right)$ $=$ $\ds T$ $\ds f^\to \left({T, F}\right)$ $=$ $\ds F$ $\ds f^\to \left({T, T}\right)$ $=$ $\ds T$

Biconditional

The biconditional connective defines the truth function $f^\leftrightarrow$ as follows:

 $\ds \map {f^\leftrightarrow} {\F, \F}$ $=$ $\ds \T$ $\ds \map {f^\leftrightarrow} {\F, \T}$ $=$ $\ds \F$ $\ds \map {f^\leftrightarrow} {\T, \F}$ $=$ $\ds \F$ $\ds \map {f^\leftrightarrow} {\T, \T}$ $=$ $\ds \T$

Exclusive Disjunction

The exclusive or connective defines the truth function $f^\oplus$ as follows:

 $\ds f^\oplus \left({F, F}\right)$ $=$ $\ds F$ $\ds f^\oplus \left({F, T}\right)$ $=$ $\ds T$ $\ds f^\oplus \left({T, F}\right)$ $=$ $\ds T$ $\ds f^\oplus \left({T, T}\right)$ $=$ $\ds F$

Logical NAND

The NAND connective defines the truth function $f^\uparrow$ as follows:

 $\ds \map {f^\uparrow} {\F, \F}$ $=$ $\ds \T$ $\ds \map {f^\uparrow} {\F, \T}$ $=$ $\ds \T$ $\ds \map {f^\uparrow} {\T, \F}$ $=$ $\ds \T$ $\ds \map {f^\uparrow} {\T, \T}$ $=$ $\ds \F$

Logical NOR

The NOR connective defines the truth function $f^\downarrow$ as follows:

 $\ds \map {f^\downarrow} {\F, \F}$ $=$ $\ds \T$ $\ds \map {f^\downarrow} {\F, \T}$ $=$ $\ds \F$ $\ds \map {f^\downarrow} {\T, \F}$ $=$ $\ds \F$ $\ds \map {f^\downarrow} {\T, \T}$ $=$ $\ds \F$