Derivative of Hyperbolic Secant/Proof 2

Theorem

$\map {\dfrac \d {\d x} } {\sech x} = -\sech x \tanh x$

$\ds \map {\frac \d {\d x} } {\sech x}$

$=$

$\ds 2 \map {\frac \d {\d x} } {\frac {e^x} {e^{2 x} + 1} }$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 2 {\paren {e^{2 x} + 1}^2} \paren {\map {\frac \d {\d x} } {e^x} \paren {e^{2 x} + 1} - e^x \map {\frac \d {\d x} } {e^{2 x} + 1} }$

$\ds $

$=$

$\ds -\frac 2 {\paren {e^{2 x} + 1}^2} \paren {2 e^{2 x} \cdot e^x - e^x \cdot e^{2 x} - e^x}$

$\ds $

$=$

$\ds -\frac {2 \paren {e^{3 x} - e^x} } {\paren {e^{2 x} + 1}^2}$

$\ds $

$=$

$\ds -\frac {2 e^x} {\paren {e^{2 x} + 1} } \cdot \frac {e^{2 x} - 1} {e^{2 x} + 1}$

$\ds $

$=$

$\ds -\sech x \tanh x$

$\blacksquare$