# Division Laws for Groups

## Theorem

Let $G$ be a group.

Let $a, b, x \in G$.

Then:

$(1): \quad a x = b \iff x = a^{-1} b$
$(2): \quad x a = b \iff x = b a^{-1}$

## Proof

All derivations can be achieved using applications of the group axioms:

### Proof of $(1)$

 $\ds a x$ $=$ $\ds b$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds a^{-1} a x$ $=$ $\ds a^{-1} b$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds e x$ $=$ $\ds a^{-1} b$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x$ $=$ $\ds a^{-1} b$

and the converse:

 $\ds x$ $=$ $\ds a^{-1} b$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds a x$ $=$ $\ds a a^{-1} b$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds a x$ $=$ $\ds e b$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds a x$ $=$ $\ds b$

$\blacksquare$

### Proof of $(2)$

 $\ds x a$ $=$ $\ds b$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x a a^{-1}$ $=$ $\ds b a^{-1}$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x e$ $=$ $\ds b a^{-1} b$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x$ $=$ $\ds b a^{-1}$

and the converse:

 $\ds x$ $=$ $\ds b a^{-1}$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x a$ $=$ $\ds b a^{-1} a$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x a$ $=$ $\ds b e$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x a$ $=$ $\ds b$

$\blacksquare$