Fourth Power Modulo 5

Theorem

Let $n \in \Z$ be an integer.

Then:

$n^4 \equiv m \pmod 5$

where $m \in \set {0, 1}$.

$a \equiv b \pmod 5 \iff a^4 \equiv b^4 \pmod 5$

so it is sufficient to demonstrate the result for $n \in \set {0, 1, 2, 3, 4}$.

Thus:

$\ds 0^4$

$=$

$\, \ds 0 \, $

$\, \ds \equiv \, $

$\ds 0$

$\ds \pmod 5$

$\ds 1^4$

$=$

$\, \ds 1 \, $

$\, \ds \equiv \, $

$\ds 1$

$\ds \pmod 5$

$\ds 2^4$

$=$

$\, \ds 16 \, $

$\, \ds \equiv \, $

$\ds 1$

$\ds \pmod 5$

$\ds 3^4$

$=$

$\, \ds 81 \, $

$\, \ds \equiv \, $

$\ds 1$

$\ds \pmod 5$

$\ds 4^4$

$=$

$\, \ds 256 \, $

$\, \ds \equiv \, $

$\ds 1$

$\ds \pmod 5$

The result follows.

$\blacksquare$