Inverse Hyperbolic Tangent is Odd Function/Proof 2

Theorem

$\map {\tanh^{-1} } {-x} = -\tanh^{-1} x$

$\ds \map {\tanh^{-1} } {-x}$

$=$

$\ds \frac 1 2 \map \ln {\frac {1 + \paren {-x} } {1 - \paren {-x} } }$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 2 \map \ln {\frac {1 - x} {1 + x} }$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 2 \paren {\map \ln {1 - x} - \map \ln {1 + x} }$

$\ds $

$=$

$\ds -\frac 1 2 \paren {\map \ln {1 + x} - \map \ln {1 - x} }$

$\ds $

$=$

$\ds -\frac 1 2 \map \ln {\frac {1 + x} {1 - x} }$

$\ds $

$=$

$\ds -\tanh^{-1} x$

$\blacksquare$