Keith Number/Examples/754,788,753,590,897

Examples of Keith Number

$754 \, 788 \, 753 \, 590 \, 897$ is a Keith number:

$7, 5, 4, 7, 8, 8, 7, 5, 3, 5, 9, 0, 8, 9, 7, \ldots, $

Proof

By definition of Keith number, we create a Fibonacci-like sequence $K$ from $\paren {7, 5, 4, 7, 8, 8, 7, 5, 3, 5, 9, 0, 8, 9, 7}$:

\(\ds K_0\)

\(=\)

\(\ds 7\)

\(\ds :\)

\(\)

\(\ds \)

\(\ds K_{14}\)

\(=\)

\(\ds 7\)

\(\ds K_{15}\)

\(=\)

\(\ds K_0 + K_1 + K_2 + K_3 + K_4 + K_5 + K_6 + K_7 + K_8 + K_9 + K_{10} + K_{11} + K_{12} + K_{13} + K_{14}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 7 + 5 + 4 + 7 + 8 + 8 + 7 + 5 + 3 + 5 + 9 + 0 + 8 + 9 + 7\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 92\)

\(\ds K_{16}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{15} - K_0\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 92 - 7\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 177\)

\(\ds K_{17}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{16} - K_1\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 177 - 5\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 349\)

\(\ds K_{18}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{17} - K_2\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 349 - 4\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 694\)

\(\ds K_{19}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{18} - K_3\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 694 - 7\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 1381\)

\(\ds K_{20}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{19} - K_4\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 1381 - 8\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2754\)

\(\ds K_{21}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{20} - K_5\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 2754 - 8\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 5500\)

\(\ds K_{22}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{21} - K_6\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 5500 - 7\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 10 \, 993\)

\(\ds K_{23}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{22} - K_7\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 10 \, 993 - 5\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 21 \, 981\)

\(\ds K_{24}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{23} - K_8\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 21 \, 981 - 3\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 43 \, 959\)

\(\ds K_{25}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{24} - K_9\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 43 \, 959 - 5\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 87 \, 913\)

\(\ds K_{26}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{25} - K_{10}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 87 \, 913 - 9\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 175 \, 817\)

\(\ds K_{27}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{26} - K_{11}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 175 \, 817 - 0\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 351 \, 634\)

\(\ds K_{28}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{27} - K_{12}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 351 \, 634 - 8\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 703 \, 260\)

\(\ds K_{29}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{28} - K_{13}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 703 \, 260 - 9\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 1 \, 406 \, 511\)

\(\ds K_{30}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{29} - K_{14}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 1 \, 406 \, 511 - 7\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \, 813 \, 015\)

\(\ds K_{31}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{30} - K_{15}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 2 \, 813 \, 015 - 92\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 5 \, 625 \, 938\)

\(\ds K_{32}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{31} - K_{16}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 5 \, 625 \, 938 - 177\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 11 \, 251 \, 699\)

\(\ds K_{33}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{32} - K_{17}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 11 \, 251 \, 699 - 349\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 22 \, 503 \, 049\)

\(\ds K_{34}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{33} - K_{18}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 22 \, 503 \, 049 - 694\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 45 \, 005 \, 404\)

\(\ds K_{35}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{34} - K_{19}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 45 \, 005 \, 404 - 1 \, 381\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 90 \, 009 \, 427\)

\(\ds K_{36}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{35} - K_{20}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 90 \, 009 \, 427 - 2 \, 754\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 180 \, 016 \, 100\)

\(\ds K_{37}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{36} - K_{21}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 180 \, 016 \, 100 - 5 \, 500\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 360 \, 026 \, 700\)

\(\ds K_{38}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{37} - K_{22}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 360 \, 026 \, 700 - 10 \, 993\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 720 \, 042 \, 407\)

\(\ds K_{39}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{38} - K_{23}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 720 \, 042 \, 407 - 21 \, 981\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 1 \, 440 \, 062 \, 833\)

\(\ds K_{40}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{39} - K_{24}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 1 \, 440 \, 062 \, 833 - 43 \, 959\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \, 880 \, 081 \, 707\)

\(\ds K_{41}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{40} - K_{25}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 2 \, 880 \, 081 \, 707 - 87 \, 913\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 5 \, 760 \, 075 \, 501\)

\(\ds K_{42}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{41} - K_{26}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 5 \, 760 \, 075 \, 501 - 175 \, 817\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 11 \, 519 \, 975 \, 185\)

\(\ds K_{43}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{42} - K_{27}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 11 \, 519 \, 975 \, 185 - 351 \, 634\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 23 \, 039 \, 598 \, 736\)

\(\ds K_{44}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{43} - K_{28}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 23 \, 039 \, 598 \, 736 - 703 \, 260\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 46 \, 078 \, 494 \, 212\)

\(\ds K_{45}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{44} - K_{29}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 46 \, 078 \, 494 \, 212 - 1 \, 406 \, 511\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 92 \, 155 \, 581 \, 913\)

\(\ds K_{46}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{45} - K_{30}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 92 \, 155 \, 581 \, 913 - 2 \, 813 \, 015\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 184 \, 308 \, 350 \, 811\)

\(\ds K_{47}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{46} - K_{31}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 184 \, 308 \, 350 \, 811 - 5 \, 625 \, 938\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 368 \, 611 \, 075 \, 684\)

\(\ds K_{48}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{47} - K_{32}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 368 \, 611 \, 075 \, 684 - 11 \, 251 \, 699\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 737 \, 210 \, 899 \, 669\)

\(\ds K_{49}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{48} - K_{33}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 737 \, 210 \, 899 \, 669 - 22 \, 503 \, 049\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 1 \, 474 \, 399 \, 296 \, 289\)

\(\ds K_{50}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{49} - K_{34}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 1 \, 474 \, 399 \, 296 \, 289 - 45 \, 005 \, 404\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \, 948 \, 753 \, 587 \, 174\)

\(\ds K_{51}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{50} - K_{35}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 2 \, 948 \, 753 \, 587 \, 174 - 90 \, 009 \, 427\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 5 \, 897 \, 417 \, 164 \, 921\)

\(\ds K_{52}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{51} - K_{36}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 5 \, 897 \, 417 \, 164 \, 921 - 180 \, 016 \, 100\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 11 \, 794 \, 654 \, 313 \, 742\)

\(\ds K_{53}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{52} - K_{37}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 11 \, 794 \, 654 \, 313 \, 742 - 360 \, 026 \, 700\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 23 \, 588 \, 948 \, 600 \, 784\)

\(\ds K_{54}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{53} - K_{38}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 23 \, 588 \, 948 \, 600 \, 784 - 720 \, 042 \, 407\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 47 \, 177 \, 177 \, 159 \, 161\)

\(\ds K_{55}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{54} - K_{39}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 47 \, 177 \, 177 \, 159 \, 161 - 1 \, 440 \, 062 \, 833\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 94 \, 352 \, 914 \, 255 \, 489\)

\(\ds K_{56}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{55} - K_{40}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 94 \, 352 \, 914 \, 255 \, 489 - 2 \, 880 \, 081 \, 707\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 188 \, 702 \, 948 \, 429 \, 271\)

\(\ds K_{57}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{56} - K_{41}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 188 \, 702 \, 948 \, 429 \, 271 - 5 \, 760 \, 075 \, 501\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 377 \, 400 \, 136 \, 783 \, 041\)

\(\ds K_{58}\)

\(=\)

\(\ds 2 \times K_{57} - K_{42}\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 2 \times 377 \, 400 \, 136 \, 783 \, 041 - 11 \, 519 \, 975 \, 185\)

\(\ds \)

\(=\)

\(\ds 754 \, 788 \, 753 \, 590 \, 897\)

Thus $754 \, 788 \, 753 \, 590 \, 897$ occurs in $K$ and the result follows by definition of Keith number.

$\blacksquare$

Sources

• 1994: K. Shirriff: Computing Replicating Fibonacci Digits (J. Recr. Math. Vol. 26: pp. 191 – 193)

• 1997: David Wells: Curious and Interesting Numbers (2nd ed.) ... (previous) ... (next): $754,788,753,590,897$