# Modulo Arithmetic/Examples/Solutions to x^2 = x Modulo 6

## Example of Modulo Arithmetic

The equation:

$x^2 = x \pmod 6$

has solutions:

 $\ds x$ $=$ $\ds 0$ $\ds x$ $=$ $\ds 1$ $\ds x$ $=$ $\ds 3$ $\ds x$ $=$ $\ds 4$

## Proof

The Cayley table for multiplication modulo $6$ can be presented as:

$\begin{array} {r|rrrrrr} \times_6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 3 & 0 & 3 & 0 & 3 \\ 4 & 0 & 4 & 2 & 0 & 4 & 2 \\ 5 & 0 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array}$

The squares $x^2$ of each $x$ can be found on the main diagonal, where each element of $\Z_6$ can be inspected.

Checking each of these, we have:

 $\ds 0^2$ $=$ $\ds 0$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 0$ $\ds \pmod 6$ $\ds 1^2$ $=$ $\ds 1$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 1$ $\ds \pmod 6$ $\ds 2^2$ $=$ $\ds 4$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 4$ $\ds \pmod 6$ $\ds 3^2$ $=$ $\ds 9$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 3$ $\ds \pmod 6$ $\ds 4^2$ $=$ $\ds 16$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 4$ $\ds \pmod 6$ $\ds 5^2$ $=$ $\ds 25$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 1$ $\ds \pmod 6$

$\blacksquare$