Power Reduction Formulas/Cosine to 4th/Proof 1

Theorem

$\cos^4 x = \dfrac {3 + 4 \cos 2 x + \cos 4 x} 8$

$\ds \cos^4 x$

$=$

$\ds \paren {\cos^2 x}^2$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {\frac {1 + \cos 2 x} 2}^2$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {1 + 2 \cos 2 x + \cos^2 2 x} 4$

multiplying out

$\ds $

$=$

$\ds \frac {1 + 2 \cos 2 x + \frac {1 + \cos 4 x} 2} 4$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {2 + 4 \cos 2 x + 1 + \cos 4 x} 8$

multiplying top and bottom by $2$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {3 + 4 \cos 2 x + \cos 4 x} 8$

rearrangement

$\blacksquare$