Primitive of Exponential of a x by Cosine of b x/Proof 2

Theorem

$\ds \int e^{a x} \cos b x \rd x = \frac {e^{a x} \paren {a \cos b x + b \sin b x} } {a^2 + b^2} + C$

$\ds \int e^{a x} e^{i b x} \rd x$

$=$

$\ds i \int e^{a x} \sin b x \rd x + \int e^{a x} \cos b x \rd x$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \int e^{a x} \cos b x \rd x$

$=$

$\ds \map \Re {\int e^{\paren {a + i b} x} \rd x}$

$\ds $

$=$

$\ds \map \Re {\frac {e^{\paren {a + i b} x} } {a + i b} } + C$

$\ds $

$=$

$\ds \map \Re {\frac {\paren {a - i b} e^{\paren {a + i b} x} } {a^2 + b^2} } + C$

multiplying through by $\dfrac {a - i b} {a - i b}$

$\ds $

$=$

$\ds \map \Re {\frac {i a e^{a x} \sin b x + a e^{a x} \cos b x - i b \paren {i e^{a x} \sin b x + e^{a x} \cos b x} } {a^2 + b^2} } + C$

$\ds $

$=$

$\ds \map \Re {\frac {i \paren {a e^{a x} \sin b x - b e^{a x} \cos b x} + \paren {a e^{a x} \cos b x + b e^{a x} \sin b x} } { a^2 + b^2} } + C$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {e^{a x} \paren {a \cos b x + b \sin b x} } {a^2 + b^2} + C$

isolating real part

$\blacksquare$