Primitive of Fourth Power of Sine of a x

Theorem

$\ds \int \sin^4 a x \rd x = \frac {3 x} 8 - \frac {\sin 2 a x} {4 a} + \frac {\sin 4 a x} {32 a} + C$

$\ds \int \sin^4 a x \rd x$

$=$

$\ds \int \paren {\frac {3 - 4 \cos 2 a x + \cos 4 a x} 8} \rd x$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 3 8 \int \rd x - \frac 1 2 \int \cos 2 a x \rd x + \frac 1 8 \int \cos 4 a x \rd x$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {3 x} 8 - \frac 1 2 \int \cos 2 a x \rd x + \frac 1 8 \int \cos 4 a x \rd x + C$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {3 x} 8 - \frac 1 2 \paren {\frac {\sin 2 a x} {2 a} } + \frac 1 8 \paren {\frac {\sin 4 a x} {4 a} } + C$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {3 x} 8 - \frac {\sin 2 a x} {4 a} + \frac {\sin 4 a x} {32 a} + C$

simplifying

$\blacksquare$