Sine of Sum/Proof 4

Theorem

$\map \sin {a + b} = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\ds \sin \left({a + b}\right)$

$=$

$\ds \cos \left({\frac \pi 2 - \left({a + b}\right)}\right)$

$\ds $

$=$

$\ds \cos \left({\left({\frac \pi 2 - a}\right) - b}\right)$

$\ds $

$=$

$\ds \cos \left({\frac \pi 2 - a}\right) \cos b + \sin \left({\frac \pi 2 - a}\right) \sin b$

$\ds $

$=$

$\ds \sin a \cos b + \sin \left({\frac \pi 2 - a}\right) \sin b$

$\ds $

$=$

$\ds \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\blacksquare$