Sine of Sum/Proof 5

Theorem

$\map \sin {a + b} = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\text {(1)}: \quad$

$\ds 2 \sin a \cos b$

$=$

$\ds \sin \paren {a + b} + \sin \paren {a - b}$

$\text {(2)}: \quad$

$\ds 2 \cos a \sin b$

$=$

$\ds \sin \paren {a + b} - \sin \paren {a - b}$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds 2 \sin \paren {a + b}$

$=$

$\ds 2 \sin a \cos b + 2 \cos a \sin b$

$(1) + (2)$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \sin \paren {a + b}$

$=$

$\ds \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\blacksquare$

1960: Walter Ledermann: Complex Numbers ... (previous) ... (next): $\S 4.5$. The Functions $e^z$, $\cos z$, $\sin z$: $(4.18)$