# Smallest Integer not Sum of Two Ulam Numbers

## Theorem

The smallest integer greater than $1$ which is not the sum of two Ulam numbers is $23$.

## Proof

Recall the Ulam numbers:

The sequence of Ulam numbers begins as follows:

$1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, \ldots{}$

We have:

 $\ds 2$ $=$ $\ds 1 + 1$ $\ds 3$ $=$ $\ds 2 + 1$ $\ds 4$ $=$ $\ds 3 + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 2 + 2$ $\ds 5$ $=$ $\ds 4 + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 3 + 2$ $\ds 6$ $=$ $\ds 4 + 2$ $\ds$ $=$ $\ds 3 + 3$ $\ds 7$ $=$ $\ds 6 + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 4 + 3$ $\ds 8$ $=$ $\ds 6 + 2$ $\ds$ $=$ $\ds 4 + 4$ $\ds 9$ $=$ $\ds 8 + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 6 + 3$ $\ds 10$ $=$ $\ds 8 + 2$ $\ds$ $=$ $\ds 6 + 4$ $\ds 11$ $=$ $\ds 8 + 3$ $\ds 12$ $=$ $\ds 11 + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 8 + 4$ $\ds$ $=$ $\ds 6 + 6$ $\ds 13$ $=$ $\ds 11 + 2$ $\ds 14$ $=$ $\ds 13 + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 11 + 3$ $\ds$ $=$ $\ds 8 + 6$ $\ds 15$ $=$ $\ds 13 + 2$ $\ds$ $=$ $\ds 11 + 4$ $\ds 16$ $=$ $\ds 13 + 3$ $\ds$ $=$ $\ds 8 + 8$ $\ds 17$ $=$ $\ds 16 + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 13 + 4$ $\ds$ $=$ $\ds 11 + 6$ $\ds 18$ $=$ $\ds 16 + 2$ $\ds 19$ $=$ $\ds 18 + 1$ $\ds$ $=$ $\ds 16 + 3$ $\ds$ $=$ $\ds 13 + 6$ $\ds$ $=$ $\ds 11 + 8$ $\ds 20$ $=$ $\ds 18 + 2$ $\ds$ $=$ $\ds 16 + 4$ $\ds 21$ $=$ $\ds 18 + 3$ $\ds$ $=$ $\ds 13 + 8$ $\ds 22$ $=$ $\ds 18 + 4$ $\ds$ $=$ $\ds 16 + 6$ $\ds$ $=$ $\ds 11 + 11$

Now consider the the difference between $23$ and successive Ulam numbers:

 $\ds 23 - 18$ $=$ $\ds 5$ not a Ulam number $\ds 23 - 16$ $=$ $\ds 7$ not a Ulam number $\ds 23 - 13$ $=$ $\ds 10$ not a Ulam number $\ds 23 - 11$ $=$ $\ds 12$ not a Ulam number

and it is not necessary to go further back.

Hence the result.

$\blacksquare$