# Square Numbers which are Divisor Sum values

## Theorem

The sequence of square numbers which are the divisor sum value of a (strictly) positive integer begins:

$1, 4, 36, 121, 144, 256, 324, 400, 576, 784, 900, 961, \ldots$

## Proof

 $\ds 1$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} 1$ $\sigma_1$ of $1$ $\ds 4$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} 3$ $\sigma_1$ of $3$ $\ds 36$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {22}$ $\sigma_1$ of $22$ $\ds 121$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {81}$ $\sigma_1$ of $81$ $\ds 144$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {66}$ $\sigma_1$ of $66$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {70}$ $\sigma_1$ of $70$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {94}$ $\sigma_1$ of $94$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {115}$ $\sigma_1$ of $115$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {119}$ $\sigma_1$ of $119$ $\ds 256$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {217}$ $\sigma_1$ of $217$ $\ds 324$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {170}$ $\sigma_1$ of $170$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {214}$ $\sigma_1$ of $214$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {265}$ $\sigma_1$ of $265$ $\ds 400$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {343}$ $\sigma_1$ of $343$ $\ds 576$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {210}$ $\sigma_1$ of $210$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {282}$ $\sigma_1$ of $282$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {310}$ $\sigma_1$ of $310$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {345}$ $\sigma_1$ of $345$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {357}$ $\sigma_1$ of $357$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {382}$ $\sigma_1$ of $382$ $\ds$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {385}$ $\sigma_1$ of $385$ $\ds 784$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {364}$ $\sigma_1$ of $364$ $\ds 900$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {472}$ $\sigma_1$ of $472$ $\ds 961$ $=$ $\ds \map {\sigma_1} {400}$ $\sigma_1$ of $400$

$\blacksquare$