# Squares Ending in Repeated Digits

## Theorem

A square number $n^2$ can end in a repeated digit if and only if either:

$(1): \quad n^2$ is a multiple of $100$, in which case $n$ is a multiple of $10$
$(2): \quad n^2$ ends in $44$ and $n$ ends in $12, 38, 62$ or $88$.

## Proof

Let $n \in \Z_{>0}$ end in $a b$.

By the Basis Representation Theorem, $n$ can be expressed as:

$n = 100 k + 10 a + b$

for some $k \in \Z_{>0}$ and for $0 \le a < 10, 0 \le b < 10$.

Then:

 $\ds n^2$ $=$ $\ds \paren {100k + 10 a + b}^2$ $\ds$ $=$ $\ds 100^2 k^2 + 2000 k a + 200 k b + 100 b^2 + 20 a b + b^2$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 20 a b + b^2$ $\ds \pmod {100}$

Thus the nature of the last $2$ digits of $n^2$ are not dependent upon $k$.

So we can ignore all digits of $n$ except the last $2$.

Note that if $b = 0$ we have that $b^2 = 0$ and $20 a b = 0$.

So the last $2$ digits of the square of a multiple of $10$ are both $0$, and $n^2$ is a multiple of $100$.

Let $a = 5 + c$ where $0 \le c < 5$.

We have that:

 $\ds \paren {10 a + b}^2$ $=$ $\ds \paren {10 \paren {5 + c} + b}^2$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {10 c + 50 + b}^2$ $\ds$ $=$ $\ds 100 c^2 + 2 \times 500 c + 2 \times 10 b c + 2 \times 50 b + b^2$ $\ds$ $=$ $\ds 100 c^2 + 1000 c + 100 b + 20 b c + b^2$ $\ds$ $=$ $\ds 1000 c + 100 b + \paren {10 c + b}^2$ $\ds$ $\equiv$ $\ds \paren {10 c + b}^2$ $\ds \pmod {100}$

So the square of a number ending in $c b$, where $0 \le c < 5$, ends in the same $2$ digits as the square a number ending in $a b$ where $a = c + 5$.

It remains to list the integers from $1$ to $49$, generating their squares and investigating their last $2$ digits:

 $\ds 01^2$ $=$ $\ds 01$ $\ds 02^2$ $=$ $\ds 04$ $\ds 03^2$ $=$ $\ds 09$ $\ds 04^2$ $=$ $\ds 16$ $\ds 05^2$ $=$ $\ds 25$ $\ds 06^2$ $=$ $\ds 36$ $\ds 07^2$ $=$ $\ds 49$ $\ds 08^2$ $=$ $\ds 64$ $\ds 09^2$ $=$ $\ds 81$

 $\ds 11^2$ $=$ $\ds 121$ $\ds 12^2$ $=$ $\ds 144$ $n^2$ ends in $44$ and $n$ ends in $12$ $\ds 13^2$ $=$ $\ds 169$ $\ds 14^2$ $=$ $\ds 196$ $\ds 15^2$ $=$ $\ds 225$ $\ds 16^2$ $=$ $\ds 256$ $\ds 17^2$ $=$ $\ds 289$ $\ds 18^2$ $=$ $\ds 324$ $\ds 19^2$ $=$ $\ds 361$

 $\ds 21^2$ $=$ $\ds 441$ $\ds 22^2$ $=$ $\ds 484$ $\ds 23^2$ $=$ $\ds 529$ $\ds 24^2$ $=$ $\ds 576$ $\ds 25^2$ $=$ $\ds 225$ $\ds 26^2$ $=$ $\ds 676$ $\ds 27^2$ $=$ $\ds 729$ $\ds 28^2$ $=$ $\ds 784$ $\ds 29^2$ $=$ $\ds 841$

 $\ds 31^2$ $=$ $\ds 961$ $\ds 32^2$ $=$ $\ds 1024$ $\ds 33^2$ $=$ $\ds 1089$ $\ds 34^2$ $=$ $\ds 1156$ $\ds 35^2$ $=$ $\ds 1225$ $\ds 36^2$ $=$ $\ds 1296$ $\ds 37^2$ $=$ $\ds 1369$ $\ds 38^2$ $=$ $\ds 1444$ $n^2$ ends in $44$ and $n$ ends in $38$ $\ds 39^2$ $=$ $\ds 1521$

 $\ds 41^2$ $=$ $\ds 1681$ $\ds 42^2$ $=$ $\ds 1764$ $\ds 43^2$ $=$ $\ds 1849$ $\ds 44^2$ $=$ $\ds 1936$ $\ds 45^2$ $=$ $\ds 2025$ $\ds 46^2$ $=$ $\ds 2116$ $\ds 47^2$ $=$ $\ds 2209$ $\ds 48^2$ $=$ $\ds 2304$ $\ds 49^2$ $=$ $\ds 2401$

It is seen that the only $n^2$ ending in a repeated digit end in $44$.

The corresponding $n$ are seen to be $12$ and $38$.

Adding $5$ to the $10$s digit of each gives us $62$ and $88$ as further such:

 $\ds 62^2$ $=$ $\ds 3844$ $\ds 88^2$ $=$ $\ds 7744$

The result follows.

$\blacksquare$