# Sum of 1 + sin pi by 5 plus i cos pi by 5 to Fifth Power plus i times its Conjugate

$\paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 + i \cos \dfrac \pi 5}^5 + i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5 = 0$
 $\ds$  $\ds \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 + i \cos \dfrac \pi 5}^5 + i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {\paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 + i \cos \dfrac \pi 5}^5} {\paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5} \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5 + i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {\sin \dfrac \pi 5 + i \cos \dfrac \pi 5}^5 \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5 + i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5$ Complex Division Examples: $\dfrac {1 + \sin \theta + i \cos \theta} {1 + \sin \theta - i \cos \theta}$ $\ds$ $=$ $\ds i^5 \paren {-i \sin \dfrac \pi 5 + \cos \dfrac \pi 5}^5 \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5 + i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5$ multiplying left hand term by $i^5 \times -i = 1$ $\ds$ $=$ $\ds i \paren {\cos \pi - i \sin \pi} \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5 + i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5$ De Moivre's Formula $\ds$ $=$ $\ds i \paren {-1} \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5 + i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5$ Sine of Straight Angle and Cosine of Straight Angle $\ds$ $=$ $\ds -i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5 + i \paren {1 + \sin \dfrac \pi 5 - i \cos \dfrac \pi 5}^5$ $\ds$ $=$ $\ds 0$