Conjugates of Transpositions

From ProofWiki
Jump to: navigation, search

Theorem

Let $k_1, k_2, k_3 \in \left\{{1, 2, \ldots, n}\right\}$.

Then:

$(1): \quad \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix}$
$(2): \quad \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix}$


Proof

$(1):$ Calculating the product of $\begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix}$:

$k_1 \to k_3 \to k_2$
$k_2 \to k_3 \to k_1$
$k_3 \to k_2 \to k_3$

hence the result.

$\Box$


$(2):$ Calculating the product of $\begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_3 & k_1 \end{bmatrix}$:

$k_1 \to k_3 \to k_2$
$k_2 \to k_3 \to k_1$
$k_3 \to k_1 \to k_3$

hence the result.

$\blacksquare$