Multiple Angle Formula for Sine

From ProofWiki
Jump to navigation Jump to search

Theorem

$\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z} = 2^{n - 1} \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} \paren {\cos z - \cos \frac {k \pi} n}$

for $\sin z \ne 0$.


Proof

We have:

\(\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}\) \(=\) \(\ds \frac {e^{i n z} - e^{-i n z} } {e^{i z} - e^{-i z} }\) Euler's Sine Identity
\(\ds \) \(=\) \(\ds \frac {e^{i n z} - e^{-i n z} } {e^{i z} - e^{-i z} } \times \frac {e^{i n z} } {e^{i n z} } \times \frac {2^{n - 1} } {2^{n - 1} } \times \frac {e^{i z} } {e^{i z} }\) multiplying by $1$
\(\text {(1)}: \quad\) \(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \frac {e^{2 i n z} - 1} {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }\)


Consider the equation:

$x^n - 1 = 0$

whose solutions are the complex roots of unity:

$1, e^{-2 \pi i / n}, e^{-4 \pi i / n}, e^{-6 \pi i / n}, \ldots, e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n}$

Then:

\(\ds x^n - 1\) \(=\) \(\ds \paren {x - 1} \paren {x - e^{-2 \pi i / n} } \paren {x - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {x - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} }\) product of all the roots

Let $x = e^{2 i z}$.

Then:

\(\text {(2)}: \quad\) \(\ds e^{2 i n z} - 1\) \(=\) \(\ds \paren {e^{2 i z} - 1} \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} }\) product of all the roots

Plugging $(2)$ into $(1)$, we have:

\(\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}\) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \frac {e^{2 i n z} - 1} {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }\) from $\paren {1}$ above
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {e^{2 i z} - 1} \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }\) plugging $(2)$ into $(1)$
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) cancelling $\paren {e^{2 i z} - 1}$
\(\text {(3)}: \quad\) \(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {\paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} + e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) Difference of Two Squares


We now notice:

\(\ds \paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} }\) \(=\) \(\ds \paren {e^{i z} + e^{2\pi i - \pi i / n} }\) Euler's Formula
\(\ds \) \(=\) \(\ds \paren {e^{i z} + e^{\pi i } e^{\pi i } e^{-\pi i / n} }\) Product of Powers
\(\ds \) \(=\) \(\ds \paren {e^{i z} + \paren {-1} e^{\pi i -\pi i / n} }\) Euler's Identity and Product of Powers
\(\ds \) \(=\) \(\ds \paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } }\)

And also:

\(\ds \paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - k} \pi i / n} }\) \(=\) \(\ds \paren {e^{i z} + e^{-\pi i + k \pi i / n} }\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds \paren {e^{i z} + e^{-\pi i } e^{k \pi i / n} }\) Product of Powers
\(\ds \) \(=\) \(\ds \paren {e^{i z} + \paren {-1} e^{k \pi i / n} }\) Euler's Identity
\(\ds \) \(=\) \(\ds \paren {e^{i z} - e^{k \pi i / n} }\)


Substituting into $\paren {3}$ above, we obtain:

\(\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}\) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {\paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} + e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) from $(3)$ above
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 2} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} - e^{\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) after substitution
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) rearranging terms

From $(2)$ above, we have:

\(\ds e^{i \paren {n - 1} z}\) \(=\) \(\ds \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} e^{-i \paren {\dfrac {k \pi} n} }\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds \paren {e^{-i \paren {\dfrac {\pi} n} } } \paren {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \dotsm \paren {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } }\)


Therefore:

\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }\) separating terms
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } {e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }\) factoring out $1$ and Product of Powers
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - 1} } 2} \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - 1} } 2}\) dividing by $1$
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac \pi n} } + e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - e^{i z} } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac {2 \pi} n} } + e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } - e^{i \paren {z + \dfrac {4 \pi} n} } - e^{i z} } 2} \dotsm \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } + e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - e^{i \paren {z + \dfrac {2 \paren {n - 1} \pi} n} } - e^{i z} } 2}\) expanding the product
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }\) factoring out $1$ and Product of Powers
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } 2} \dotsm \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } 2}\) dividing by $1$
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^{n - 1} \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} \paren {\cos z - \cos \frac {k \pi} n}\) Euler's Cosine Identity

$\blacksquare$


Also see


Sources

Retrieved from "https://proofwiki.org/w/index.php?title=Multiple_Angle_Formula_for_Sine&oldid=676109"