Sixth Power as Sum of 7 Sixth Powers

Theorem

The smallest known integer whose $6$th power can be expressed as the sum of $7$ smaller $6$th powers is $1141$:

$1141^6 = 74^6 + 234^6 + 402^6 + 474^6 + 702^6 + 894^6 + 1077^6$

$\ds $

$\ds 74^6 + 234^6 + 402^6 + 474^6 + 702^6 + 894^6 + 1077^6$

$\ds $

$=$

$\ds 164 \, 206 \, 490 \, 176$

$\ds $

$\, \ds + \, $

$\ds 164 \, 170 \, 508 \, 913 \, 216$

$\ds $

$\, \ds + \, $

$\ds 4 \, 220 \, 426 \, 278 \, 476 \, 864$

$\ds $

$\, \ds + \, $

$\ds 11 \, 341 \, 488 \, 324 \, 787 \, 776$

$\ds $

$\, \ds + \, $

$\ds 119 \, 680 \, 300 \, 997 \, 734 \, 464$

$\ds $

$\, \ds + \, $

$\ds 510 \, 534 \, 520 \, 424 \, 456 \, 256$

$\ds $

$\, \ds + \, $

$\ds 1 \, 560 \, 609 \, 404 \, 742 \, 322 \, 089$

$\ds $

$=$

$\ds 2 \, 206 \, 550 \, 475 \, 483 \, 180 \, 841$

$\ds $

$=$

$\ds 1141^6$

$\blacksquare$