Variance of Logistic Distribution/Lemma 1

Lemma for Variance of Logistic Distribution

$\ds \int_{\to 0}^{\to 1} \map {\ln^2} {1 - u} \rd u = 2$

Let:

$\ds x$

$=$

$\ds \paren {1 - u}$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \frac {\d x} {\d u}$

$=$

$\ds -1$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \int_{\to 0}^{\to 1} \map {\ln^2} {1 - u} \rd u$

$=$

$\ds -\int_{\to 1}^{\to 0} \map {\ln^2} x \rd x$

$\ds $

$=$

$\ds \int_{\to 0}^{\to 1} \map {\ln^2} x \rd x$

$\ds $

$=$

$\ds \bigintlimits {x \ln^2 x } 0 1 - 2 \int_{\to 0}^{\to 1} \map \ln x \rd x$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {\paren {0 - 0} - 2 \paren {-1} }$

$\ds $

$=$

$\ds 2$

$\blacksquare$