Definition:Aliquot Sequence

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Definition

Let $m$ be a positive integer.

Let $\map s m$ be the aliquot sum of $m$.


Define the sequence $\sequence {a_k}$ recursively as:

$a_{k + 1} = \begin{cases} m & : k = 0 \\ \map s {a_k} & : k > 0 \end{cases}$


The sequence $\sequence {a_k}$ is known as an aliquot sequence.


Examples

138

The aliquot sequence that starts at $138$ reaches as high as $179 \, 931 \, 895 \, 322$ after $117$ steps, then terminates at $1$ after a total of $177$ steps.


276

The eventual fate of the aliquot sequence that starts at $276$ is unknown.

By step $469$ it is $45$ digits long:

$149 \, 384 \, 846 \, 598 \, 254 \, 844 \, 243 \, 905 \, 695 \, 992 \, 651 \, 412 \, 919 \, 855 \, 640$


Historical Note

The concept of an aliquot sequence was discussed by Paul Poulet, who wrote a paper on the subject as follows:


Si l'on considère un nombre entier a, la somme b de ses parties aliquotes, la somme c des parties aliquotes de b, la somme d des parties aliquotes de c et ainsi de suite, on obtient un développement qui, poussé indéfiniment, peut se présenter sous trois aspects différents:

  1. Le plus souvent on finit par tomber sur un nombre premier, puis sur l'unité. Le développement est fini.
  2. On retrouve à un moment donné un nombre déjà rencontré. Le développement est indéfini et périodique. Si la période n'a qu'un terme, ce terme est un nombre parfait. Si la période a deux termes, ces termes sont des nombres amiables. La période peut avoir plus de deux termes, qu'on pourrait appeler, pour garder la même terminologie, des nombres sociables. Par exemple le nombre $12496$ engendre une période de $4$ termes, le nombre $14316$ une période de $28$ termes.
  3. Enfin dans certains cas, on arrive à des nombres très grands qui rendent le calcul insupportable. Exemple: le nombre $138$.

Cela étant, je demande:

  1. Si ce troisième cas existe réellement ou si, en poursuivant indéfiniment le calcul, il ne se résoudrait pas nécessairement dans l'un ou l'autre des deux premiers, comme je suis porté à le croire.
  2. Si l'on connaît d'autres groupes sociables que ceux donnés plus haut, notamment des groupes de trois termes. (Il est inutile, je pense, d'essayer les nombres inférieurs à 12000 que j'ai tous examinés.)


This can be rendered in English as:

If one considers a whole number $a$, the sum $b$ of its proper divisors, the sum $c$ of the proper divisors of $b$, the sum $d$ of the proper divisors of $c$, and so on, one creates a sequence that, continued indefinitely, can develop in three ways:

  1. The most frequent is to arrive at a prime number, then at unity. The sequence ends here.
  2. One arrives at a previously calculated number. The sequence is indefinite and periodic. If the period is one, the number is perfect. If the period is two, the numbers are amicable. But the period can be longer than two, involving what I will call, to keep the same terminology, sociable numbers. For example, the number $12496$ creates a period of four terms, the number $14316$ a period of $28$ terms.
  3. Finally, in some cases a sequence creates very large numbers that become impossible to resolve into divisors. For example, the number $138$.

This being so, I ask:

  1. If this third case really exists or if, calculating long enough, one would not necessarily end in one of the two other cases, as I am driven to believe.
  2. If sociable chains other than those above can be found, especially chains of three terms. (It will be pointless, I think, to try numbers below $12000$, because I have tested all of them.)


Sources