Catalan-Dickson Conjecture

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Unproven Conjecture

It has been conjectured that all aliquot sequences are bounded.

That is, all aliquot sequences end in one of the following ways:

$(1): \quad$ It reaches $1$, the previous term being a prime number
$(2): \quad$ It reaches a perfect number
$(3): \quad$ It reaches a sociable chain, which may or may not be an amicable pair.


However, this is not known for certain.


Also see


Source of Name

This entry was named for Eugène Charles Catalan and Leonard Eugene Dickson.


Historical Note

Eugène Charles Catalan first made this conjecture in $1888$, postulating that all aliquot sequences end in $1$ or a perfect number:

Quelques théorèmes empiriques -- Le journal Mathesis a publié, en décembre dernier, une Question proposée par M. Oltramare. Cette question m'a fait songer au théorème empirique suivant:
$n$ étant un nombre entier, soit $n_1$, la somme des diviseurs de $n$, inférieurs à $n$, soit $n_2$ la somme des diviseurs de $n_1$ inférieurs a $n_1$; etc. Cela posé: les nombres $n$, $n_1$, $n_2$ tendent vers une limite $\lambda$, laquel le est $1$ ou un nombre parfait.
Si cette proposition (vérifée sur divers exemples) est vraie, elle doit être fort difficile à démontrer.


This can be rendered in English as:

Some empirical theorems -- the journal Mathesis published, last December, a question posed by Mr. Oltramare. This question made me wonder about the following empirical theorem:
Let $n$ be an integer, let $n_1$ be the sum of divisors of $n$ less than $n$, let $n_2$ be the sum of divisors of $n_1$ less than $n_1$, and so on. This has been suggested: the numbers $n$, $n_1$, $n_2$ tend to a limit $\lambda$ which is either $1$ or a perfect number.
If this proposition (verified by various examples) is true, it would be very difficult to prove.


It was refined in $1913$ by Leonard Eugene Dickson to include the possibility of such a sequence ending in a sociable chain.

Paul Poulet independently came up with the concept of aliquot sequences in $1918$, and famously made the same conjecture:


Si l'on considère un nombre entier a, la somme b de ses parties aliquotes, la somme c des parties aliquotes de b, la somme d des parties aliquotes de c et ainsi de suite, on obtient un développement qui, poussé indéfiniment, peut se présenter sous trois aspects différents:

  1. Le plus souvent on finit par tomber sur un nombre premier, puis sur l'unité. Le développement est fini.
  2. On retrouve à un moment donné un nombre déjà rencontré. Le développement est indéfini et périodique. Si la période n'a qu'un terme, ce terme est un nombre parfait. Si la période a deux termes, ces termes sont des nombres amiables. La période peut avoir plus de deux termes, qu'on pourrait appeler, pour garder la même terminologie, des nombres sociables. Par exemple le nombre $12496$ engendre une période de $4$ termes, le nombre $14316$ une période de $28$ termes.
  3. Enfin dans certains cas, on arrive à des nombres très grands qui rendent le calcul insupportable. Exemple: le nombre $138$.

Cela étant, je demande:

  1. Si ce troisième cas existe réellement ou si, en poursuivant indéfiniment le calcul, il ne se résoudrait pas nécessairement dans l'un ou l'autre des deux premiers, comme je suis porté à le croire.
  2. Si l'on connaît d'autres groupes sociables que ceux donnés plus haut, notamment des groupes de trois termes. (Il est inutile, je pense, d'essayer les nombres inférieurs à 12000 que j'ai tous examinés.)


This can be rendered in English as:

If one considers a whole number $a$, the sum $b$ of its proper divisors, the sum $c$ of the proper divisors of $b$, the sum $d$ of the proper divisors of $c$, and so on, one creates a sequence that, continued indefinitely, can develop in three ways:

  1. The most frequent is to arrive at a prime number, then at unity. The sequence ends here.
  2. One arrives at a previously calculated number. The sequence is indefinite and periodic. If the period is one, the number is perfect. If the period is two, the numbers are amicable. But the period can be longer than two, involving what I will call, to keep the same terminology, sociable numbers. For example, the number $12496$ creates a period of four terms, the number $14316$ a period of $28$ terms.
  3. Finally, in some cases a sequence creates very large numbers that become impossible to resolve into divisors. For example, the number $138$.

This being so, I ask:

  1. If this third case really exists or if, calculating long enough, one would not necessarily end in one of the two other cases, as I am driven to believe.
  2. If sociable chains other than those above can be found, especially chains of three terms. (It will be pointless, I think, to try numbers below $12000$, because I have tested all of them.)


Richard K. Guy expresses the opinion, based on heuristic and experimental evidence, that there may exist some aliquot sequences which are unbounded.

Hendrik Willem Lenstra Jr. demonstrated that there exist aliquot sequences of arbitrary length which are monotonically increasing.

Herman te Riele has created such an aliquot sequence that increases for over $5000$ terms.


Sources