Limit of x to the x/Proof 1

Theorem

Let $f: \R_{>0} \to \R$ be defined as:

$\forall x \in \R_{>0}: \map f x = x^x$

Then:

$\ds \lim_{x \mathop \to 0^+} x^x = 1$

$\ds \lim_{x \mathop \to 0^+} x^x$

$=$

$\ds \lim_{x \mathop \to 0^+} \map \exp {x \ln x}$

Definition 1 of Power (Algebra)

$\ds $

$=$

$\ds \map \exp {\lim_{x \mathop \to 0^+} x \ln x}$

$\ds $

$=$

$\ds \map \exp {\lim_{x \mathop \to 0^+} \frac {\ln x} {\frac 1 x} }$

$\ds $

$=$

$\ds \map \exp {\lim_{x \mathop \to 0^+} \frac {\frac 1 x} {\frac {-1} {x^2} } }$

$\ds $

$=$

$\ds \map \exp {\lim_{x \mathop \to 0^+} \frac {-x^2} x}$

$\ds $

$=$

$\ds \exp 0$

$\ds $

$=$

$\ds 1$

$\blacksquare$