# Second Derivative of PGF of Negative Binomial Distribution/Second Form

## Theorem

Then the second derivative of the PGF of $X$ with respect to $s$ is:

$\dfrac {\d^2} {\d s^2} \map {\Pi_X} s = \paren {\dfrac {p s} {1 - q s} }^{n + 2} \paren {\dfrac {n \paren {n - 1} + 2 n q s} {\paren {p s^2}^2} }$

## Proof

$\map {\Pi_X} s = \paren {\dfrac {p s} {1 - q s} }^n$

We have that for a given negative binomial distribution, $n, p$ and $q$ are constant.

 $\ds \frac \d {\d s} \map {\Pi_X} s$ $=$ $\ds n p \paren {\dfrac {\paren {p s}^{n - 1} } {\paren {1 - q s}^{n + 1} } }$ $\ds$ $=$ $\ds \frac n {p s^2} \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1}$

Thus we have:

 $\ds \frac {\d^2} {\d s^2} \map {\Pi_X} s$ $=$ $\ds \map {\frac \d {\d s} } {\frac n {p s^2} \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1} }$ $\ds$ $=$ $\ds \frac n {p s^2} \map {\frac \d {\d s} } {\paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1} } + \map {\frac \d {\d s} } {\frac n {p s^2} } \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1}$ Product Rule for Derivatives $\ds$ $=$ $\ds \frac n {p s^2} \paren {\frac {n + 1} {p s^2} \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 2} } + \map {\frac \d {\d s} } {\frac n {p s^2} } \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1}$ First Derivative of PGF of Negative Binomial Distribution/Second Form $\ds$ $=$ $\ds \frac n {p s^2} \paren {\frac {n + 1} {p s^2} \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 2} } + \paren {\frac {- 2 n} {p s^3} } \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1}$ Power Rule for Derivatives where $n = -2$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {n \paren {n + 1} } {p^2 s^4} \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 2} + \paren {\frac {- 2 n} {p s^3} } \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1}$ dismayingly messy algebra $\ds$ $=$ $\ds \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1} \paren {\frac {n \paren {n + 1} } {p s^3} \paren {\frac 1 {1 - q s} } + \paren {\frac {- 2 n} {p s^3} } }$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1} \paren {\frac {n \paren {n + 1} - 2 n \paren {1 - q s} } {p s^3 \paren {1 - q s} } }$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1} \paren {\frac {n^2 + n - 2 n + 2 n q s} {p s^3 \paren {1 - q s} } }$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1} \paren {\frac {n^2 - n + 2 n q s} {p s^3 \paren {1 - q s} } }$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 1} \paren {\frac {n \paren {n - 1} + 2 n q s} {p s^3 \paren {1 - q s} } }$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 2} \paren {\frac {n \paren {n - 1} + 2 n q s} {p^2 s^4} }$ multiplying top and bottom by $p s$ and gathering terms $\ds$ $=$ $\ds \paren {\frac {p s} {1 - q s} }^{n + 2} \paren {\frac {n \paren {n - 1} + 2 n q s} {\paren {p s^2}^2} }$ final tidy up

$\blacksquare$