# Sum of Squares of Sine and Cosine/Proof 5

## Theorem

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

## Proof

 $\ds \cos^2 x + \sin^2 x$ $=$ $\ds \paren {\frac {e^{i x} + e^{-i x} } 2}^2 + \sin^2 x$ Cosine Exponential Formulation $\ds$ $=$ $\ds \paren {\frac {e^{i x} + e^{-i x} } 2}^2 + \paren {\frac {e^{i x} - e^{-i x} } {2 i} }^2$ Sine Exponential Formulation $\ds$ $=$ $\ds \frac {\paren {e^{i x} }^2 + 2 e^{-i x} e^{i x} + \paren {e^{-i x} }^2} 4 + \paren {\frac {e^{i x} - e^{-i x} } {2 i} }^2$ Square of Sum $\ds$ $=$ $\ds \frac {\paren {e^{i x} }^2 + 2 e^{-i x} e^{i x} + \paren {e^{-i x} }^2} 4 + \frac {\paren {e^{i x} }^2 - e^{-i x} e^{i x} + \paren {e^{-i x} }^2} {-4}$ Square of Difference and $i^2 = -1$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {e^{2 i x} + 2 + e^{-2 i x} } 4 + \frac {e^{2 i x} - 2 + e^{-2 i x} } {-4}$ Exponential of Sum $\ds$ $=$ $\ds \frac {e^{2 i x} + 2 + e^{-2 i x} - e^{2 i x} + 2 - e^{-2 i x} } 4$ simplifying $\ds$ $=$ $\ds \frac 4 4$ simplifying $\ds$ $=$ $\ds 1$

$\blacksquare$