# Vajda's Identity/Formulation 1

## Theorem

Let $F_n$ be the $n$th Fibonacci number.

Then:

$F_{n + i} F_{n + j} - F_n F_{n + i + j} = \paren {-1}^n F_i F_j$

## Proof

 $\ds F_{n + i}$ $=$ $\ds F_n F_{i - 1} + F_{n + 1} F_i$ $\ds F_{n + j}$ $=$ $\ds F_n F_{j - 1} + F_{n + 1} F_j$ $\ds F_{n + i + j}$ $=$ $\ds F_{i - 1} F_{n + j} + F_i F_{n + j + 1}$

Therefore:

 $\ds$  $\ds F_{n + i} F_{n + j} - F_n F_{n + i + j}$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {F_n F_{i - 1} + F_{n + 1} F_i} F_{n + j} - F_n \paren {F_{i - 1} F_{n + j} + F_i F_{n + j + 1} }$ a priori $\ds$ $=$ $\ds \paren {F_n F_{i - 1} + F_{n + 1} F_i} F_{n + j} - F_n F_{i - 1} F_{n + j} - F_n F_i F_{n + j + 1}$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {F_n F_{i - 1} + F_{n + 1} F_i - F_n F_{i - 1} } F_{n + j} - F_n F_i F_{n + j + 1}$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {F_{n + 1} F_i} F_{n + j} - F_n F_i F_{n + j + 1}$ $\ds$ $=$ $\ds F_i \paren {F_{n + 1} F_{n + j} - F_n F_{n + j + 1} }$ $\ds$ $=$ $\ds F_i \paren {-1}^{2 n + 1} \paren {F_n F_{n + j + 1} - F_{n + 1} F_{n + j} }$ $\ds$ $=$ $\ds F_i \paren {-1}^{n - j - 1} \paren {\paren {-1}^{n + j} F_n F_{n + j + 1} - \paren {-1}^{n + j} F_{n + 1} F_{n + j} }$ $\ds$ $=$ $\ds F_i \paren {-1}^{n - j - 1} \paren {\paren {-1}^{n + j} F_n F_{n + j + 1} + \paren {-1}^{n + j + 1} F_{n + 1} F_{n + j} }$ $\ds$ $=$ $\ds F_i \paren {-1}^{n - j - 1} F_{\paren {n + 1} - \paren {n + j + 1} }$ Fibonacci Number in terms of Larger Fibonacci Numbers $\ds$ $=$ $\ds F_i \paren {-1}^{n - j - 1} F_{-j}$ $\ds$ $=$ $\ds F_i \paren {-1}^{n - j - 1} \paren {-1}^{j + 1} F_j$ Fibonacci Number with Negative Index $\ds$ $=$ $\ds \paren {-1}^n F_i F_j$

$\blacksquare$

## Source of Name

This entry was named for Steven Vajda.