# Arccotangent Logarithmic Formulation

## Theorem

For any real number $x$:

$\arccot x = \dfrac 1 2 i \, \map \ln {\dfrac {1 + i x} {1 - i x} }$

where $\arccot x$ is the arccotangent and $i^2 = -1$.

## Proof

Assume $y \in \R$, $-\dfrac \pi 2 \le y \le \dfrac \pi 2$.

 $\ds y$ $=$ $\ds \arccot x$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds x$ $=$ $\ds \cot y$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds x$ $=$ $\ds i \frac {1 + e^{2 i y} } {1 - e^{2 i y} }$ Cotangent Exponential Formulation $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds i x$ $=$ $\ds \frac {e^{2 i y} + 1} {e^{2 i y} - 1}$ $i^2 = -1$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds i x \paren {e^{2 i y} - 1}$ $=$ $\ds e^{2 i y} + 1$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds i x e^{2 i y} - i x$ $=$ $\ds e^{2 i y} + 1$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds e^{2 i y} - i x e^{2 i y}$ $=$ $\ds 1 + i x$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds e^{2 i y}$ $=$ $\ds \frac {1 + i x} {1 - i x}$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds y$ $=$ $\ds \frac 1 2 i \map \ln {\frac {1 + i x} {1 - i x} }$

$\blacksquare$