# Equal Numbers are Congruent

## Theorem

$\forall x, y, z \in \R: x = y \implies x \equiv y \pmod z$

where $x \equiv y \pmod z$ denotes congruence modulo $z$.

## Proof

 $\ds x$ $=$ $\ds y$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x - y$ $=$ $\ds 0$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x - y$ $=$ $\ds 0 \cdot z$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x$ $\equiv$ $\ds y$ $\ds \pmod z$ Definition of Congruence Modulo $z$

$\blacksquare$