Largest Pandigital Square

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Theorem

The largest pandigital square (in the sense where pandigital includes the zero) is $9 \, 814 \, 072 \, 356$:

$9 \, 814 \, 072 \, 356 = 99 \, 066^2$


Proof

We check all the squares of numbers from $99 \, 067$ up to $\floor {\sqrt {9 \, 876 \, 543 \, 210} } = 99 \, 380$, with the following constraints:


Since all these squares has $9$ as its leftmost digit, the number cannot end with $3$ or $7$.

The number cannot end with $0$ since its square will end in $00$.

A pandigital number is divisible by $9$, so our number must be divisible by $3$.


These constraints leaves us with the following $74$ candidates:

\(\ds 99 \, 069^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 814 \, 666 \, 761\)
\(\ds 99 \, 072^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 815 \, 261 \, 184\)
\(\ds 99 \, 075^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 815 \, 855 \, 625\)
\(\ds 99 \, 078^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 816 \, 450 \, 084\)
\(\ds 99 \, 081^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 817 \, 044 \, 561\)
\(\ds 99 \, 084^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 817 \, 639 \, 056\)
\(\ds 99 \, 096^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 820 \, 017 \, 216\)
\(\ds 99 \, 099^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 820 \, 611 \, 801\)
\(\ds 99 \, 102^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 821 \, 206 \, 404\)
\(\ds 99 \, 105^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 821 \, 801 \, 025\)
\(\ds 99 \, 108^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 822 \, 395 \, 664\)
\(\ds 99 \, 111^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 822 \, 990 \, 321\)
\(\ds 99 \, 114^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 823 \, 584 \, 996\)
\(\ds 99 \, 126^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 825 \, 963 \, 876\)
\(\ds 99 \, 129^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 826 \, 558 \, 641\)
\(\ds 99 \, 132^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 827 \, 153 \, 424\)
\(\ds 99 \, 135^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 827 \, 748 \, 225\)
\(\ds 99 \, 138^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 828 \, 343 \, 044\)
\(\ds 99 \, 141^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 828 \, 937 \, 881\)
\(\ds 99 \, 144^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 829 \, 532 \, 736\)
\(\ds 99 \, 156^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 831 \, 912 \, 336\)
\(\ds 99 \, 159^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 832 \, 507 \, 281\)
\(\ds 99 \, 162^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 833 \, 102 \, 244\)
\(\ds 99 \, 165^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 833 \, 697 \, 225\)
\(\ds 99 \, 168^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 834 \, 292 \, 224\)
\(\ds 99 \, 171^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 834 \, 887 \, 241\)
\(\ds 99 \, 174^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 835 \, 482 \, 276\)
\(\ds 99 \, 186^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 837 \, 862 \, 596\)
\(\ds 99 \, 189^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 838 \, 457 \, 721\)
\(\ds 99 \, 192^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 839 \, 052 \, 864\)
\(\ds 99 \, 195^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 839 \, 648 \, 025\)
\(\ds 99 \, 198^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 840 \, 243 \, 204\)
\(\ds 99 \, 201^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 840 \, 838 \, 401\)
\(\ds 99 \, 204^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 841 \, 433 \, 616\)
\(\ds 99 \, 216^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 843 \, 814 \, 656\)
\(\ds 99 \, 219^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 844 \, 409 \, 961\)
\(\ds 99 \, 222^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 845 \, 005 \, 284\)
\(\ds 99 \, 225^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 845 \, 600 \, 625\)
\(\ds 99 \, 228^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 846 \, 195 \, 984\)
\(\ds 99 \, 231^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 846 \, 791 \, 361\)
\(\ds 99 \, 234^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 847 \, 386 \, 756\)
\(\ds 99 \, 246^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 849 \, 768 \, 516\)
\(\ds 99 \, 249^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 850 \, 364 \, 001\)
\(\ds 99 \, 252^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 850 \, 959 \, 504\)
\(\ds 99 \, 255^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 851 \, 555 \, 025\)
\(\ds 99 \, 258^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 852 \, 150 \, 564\)
\(\ds 99 \, 261^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 852 \, 746 \, 121\)
\(\ds 99 \, 264^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 853 \, 341 \, 696\)
\(\ds 99 \, 276^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 855 \, 724 \, 176\)
\(\ds 99 \, 279^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 856 \, 319 \, 841\)
\(\ds 99 \, 282^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 856 \, 915 \, 524\)
\(\ds 99 \, 285^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 857 \, 511 \, 225\)
\(\ds 99 \, 288^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 858 \, 106 \, 944\)
\(\ds 99 \, 291^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 858 \, 702 \, 681\)
\(\ds 99 \, 294^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 859 \, 298 \, 436\)
\(\ds 99 \, 306^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 861 \, 681 \, 636\)
\(\ds 99 \, 309^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 862 \, 277 \, 481\)
\(\ds 99 \, 312^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 862 \, 873 \, 344\)
\(\ds 99 \, 315^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 863 \, 469 \, 225\)
\(\ds 99 \, 318^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 864 \, 065 \, 124\)
\(\ds 99 \, 321^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 864 \, 661 \, 041\)
\(\ds 99 \, 324^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 865 \, 256 \, 976\)
\(\ds 99 \, 336^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 867 \, 640 \, 896\)
\(\ds 99 \, 339^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 868 \, 236 \, 921\)
\(\ds 99 \, 342^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 868 \, 832 \, 964\)
\(\ds 99 \, 345^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 869 \, 429 \, 025\)
\(\ds 99 \, 348^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 870 \, 025 \, 104\)
\(\ds 99 \, 351^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 870 \, 621 \, 201\)
\(\ds 99 \, 354^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 871 \, 217 \, 316\)
\(\ds 99 \, 366^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 873 \, 601 \, 956\)
\(\ds 99 \, 369^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 874 \, 198 \, 161\)
\(\ds 99 \, 372^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 874 \, 794 \, 384\)
\(\ds 99 \, 375^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 875 \, 390 \, 625\)
\(\ds 99 \, 378^2\) \(=\) \(\ds 9 \, 875 \, 986 \, 884\)

By inspection, none of these numbers are pandigital.

$\blacksquare$

Sources

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