# Square Modulo 4

## Theorem

Let $x \in \Z$ be an integer.

Then $x$ is:

even if and only if $x^2 \equiv 0 \pmod 4$
odd if and only if $x^2 \equiv 1 \pmod 4$

## Proof

 $\ds x$ $=$ $\ds 2 k$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds x^2$ $=$ $\ds \paren {2 k}^2$ $\ds$ $=$ $\ds 4 k^2$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 0$ $\ds \pmod 4$

$\Box$

 $\ds x$ $=$ $\ds 2 k + 1$ $\ds \leadstoandfrom \ \$ $\ds x^2$ $=$ $\ds \paren {2 k + 1}^2$ $\ds$ $=$ $\ds 4 \paren {k^2 + k} + 1$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 1$ $\ds \pmod 4$

$\blacksquare$