# Complete Residue System/Examples/Modulo 11/Powers of 2

## Examples of Complete Residue Systems

The set of integers:

$\set {0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512}$

## Proof

We have:

 $\ds 16$ $=$ $\ds 1 \times 11 + 5$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 5$ $\ds \pmod {11}$ $\ds 32$ $=$ $\ds 2 \times 11 + 10$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 10$ $\ds \pmod {11}$ $\ds 64$ $=$ $\ds 5 \times 11 + 9$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 9$ $\ds \pmod {11}$ $\ds 128$ $=$ $\ds 11 \times 11 + 7$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 7$ $\ds \pmod {11}$ $\ds 256$ $=$ $\ds 23 \times 11 + 3$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 3$ $\ds \pmod {11}$ $\ds 512$ $=$ $\ds 46 \times 11 + 6$ $\ds$ $\equiv$ $\ds 6$ $\ds \pmod {11}$

Thus we see that:

$\set {0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512}$

is equivalent to:

$\set {0, 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6}$

The result follows from Initial Segment of Natural Numbers forms Complete Residue System.

$\blacksquare$