Triangle Inequality/Real Numbers/Proof 1

Theorem

Let $x, y \in \R$ be real numbers.

Let $\size x$ denote the absolute value of $x$.

Then:

$\size {x + y} \le \size x + \size y$

$\ds \size {x + y}^2$

$=$

$\ds \paren {x + y}^2$

$\ds $

$=$

$\ds x^2 + 2 x y + y^2$

$\ds $

$=$

$\ds \size x^2 + 2 x y + \size y^2$

$\ds $

$\le$

$\ds \size x^2 + 2 \size {x y} + \size y^2$

$\ds $

$=$

$\ds \size x^2 + 2 \size x \cdot \size y + \size y^2$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {\size x + \size y}^2$

$\size {x + y} \le \size x + \size y$

$\blacksquare$