# Axiom:Axiom of Choice/Historical Note

## Historical Note on Axiom of Choice

Ernst Zermelo exposited the axiom of choice in order to prove what is now known as Zermelo's Well-Ordering Theorem.

He himself did not invent the idea of the choice function; he explains that he is merely formalizing a concept ubiquitous in mathematics.

Formulation 1 and formulation 2 are written in a letter from Zermelo to David Hilbert, postmarked $24$ September $1904$:

Der vorliegende Beweis beruht auf der Voraussetzung [...] daß es auch für eine unendliche Gesamtheit von Mengen immer Zuordnungen gibt, bei denen jeder Menge eines ihrer Elemente entspricht, oder formal ausgedrückt, daß das Produkt einer unendlichen Gesamtheit von Mengen, deren jede mindestens ein Element enthält, selbst von Null verschieden ist.
The present proof is based on the presumption [...] that even for an infinite assembly of sets, there are always assignments in which each set corresponds to one of its elements, or formally expressed, that the product of an infinite assembly of sets, each of which holds at least one element, is itself different from zero.

Zermelo wrote formulation 3 in 1908: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung ("A new proof of the possibility of well-ordering") (Math. Ann. Vol. 65: pp. 107 – 128)

Eine Menge $S$, welche in eine Menge getrennter Teile $A, B, C, \ldots$ zerfällt, deren jeder mindestens ein Element enthält, besitzt mindestens eine Untermenge $S_1$, welche mit jedem der betrachteten Teile $A, B, C, \ldots$ genau ein Element gemein hat.
A set $S$, which separates into a set of divided parts $A, B, C, \ldots$ each of which contains at least one element, has at least one subset $S_1$, which in turn has in common with each part $A, B, C, \ldots$ exactly one element.

Kurt Gödel showed that the Axiom of Choice is not disprovable in Zermelo-Fraenkel set theory (ZF).

Paul Cohen showed that neither is the Axiom of Choice provable in ZF.