# Diophantus of Alexandria/Arithmetica/Book 1/Problem 17

## Problem

The sums of $4$ numbers, omitting each of the numbers in turn, are $22$, $24$, $27$ and $20$ respectively

What are the numbers?

## Solution

 $\ds a$ $=$ $\ds 9$ $\ds b$ $=$ $\ds 7$ $\ds c$ $=$ $\ds 4$ $\ds d$ $=$ $\ds 11$

## Proof 1

Let $x$ be the sum of all $4$ numbers.

Then the numbers individually are:

 $\ds a$ $=$ $\ds x - 22$ $\ds b$ $=$ $\ds x - 24$ $\ds c$ $=$ $\ds x - 27$ $\ds d$ $=$ $\ds x - 20$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds a + b + c + d = x$ $=$ $\ds 4 x - \paren {22 + 24 + 27 + 20}$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds 3 x$ $=$ $\ds 93$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds x$ $=$ $\ds 31$

The result follows.

$\blacksquare$

## Proof 2

Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be the numbers requested.

Then we have:

 $\text {(1)}: \quad$ $\ds b + c + d$ $=$ $\ds 22$ $\text {(2)}: \quad$ $\ds a + c + d$ $=$ $\ds 24$ $\text {(3)}: \quad$ $\ds a + b + d$ $=$ $\ds 27$ $\text {(4)}: \quad$ $\ds a + b + c$ $=$ $\ds 20$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds a - b$ $=$ $\ds 2$ $(2) - (1)$ $\ds b - c$ $=$ $\ds 3$ $(3) - (2)$ $\ds d - c$ $=$ $\ds 7$ $(4) - (3)$

We use the method of false position.

Set $c = 1$.

Then:

 $\ds b$ $=$ $\ds 1 + 3 = 4$ $\ds d$ $=$ $\ds 1 + 7 = 8$ $\ds a$ $=$ $\ds 4 + 2 = 6$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds b + c + d$ $=$ $\ds 13$ $\ds a + c + d$ $=$ $\ds 15$ $\ds a + b + d$ $=$ $\ds 18$ $\ds a + b + c$ $=$ $\ds 11$

These sums are all $9$ less than what they should be.

So we have to add $3$ to each number, to make:

 $\ds a$ $=$ $\ds 9$ $\ds b$ $=$ $\ds 7$ $\ds c$ $=$ $\ds 4$ $\ds d$ $=$ $\ds 11$

$\blacksquare$