# Numbers such that Divisor Count divides Phi divides Divisor Sum

## Theorem

The sequence of integers $n$ with the property that:

$\map {\sigma_0} n \divides \map \phi n \divides \map {\sigma_1} n$

where:

$\divides$ denotes divisibility
$\sigma_0$ denotes the divisor count of $n$
$\phi$ denotes the Euler $\phi$ (phi) function: the count of smaller integers coprime to $n$
$\sigma_1$ denotes the divisor sum of $n$

begins:

$1, 3, 15, 30, 35, 56, 70, 78, 105, 140, 168, 190, 210, 248, 264, \ldots$

## Proof

By inspection and investigation.

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## Examples

### 1

 $\ds \map {\sigma_0} 1$ $=$ $\, \ds 1 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $1$ $\ds \map \phi 1$ $=$ $\, \ds 1 \,$ $\ds$ $\phi$ of $1$ $\ds \map {\sigma_1} 1$ $=$ $\, \ds 1 \,$ $\ds$ $\sigma_1$ of $1$

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### 3

 $\ds \map {\sigma_0} 3$ $=$ $\, \ds 2 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $3$ $\ds \map \phi 3$ $=$ $\, \ds 2 \,$ $\ds$ $\phi$ of $3$ $\ds \map {\sigma_1} 3$ $=$ $\, \ds 4 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 2 \times 2$ $\sigma_1$ of $3$

$\blacksquare$

### 15

 $\ds \map {\sigma_0} {15}$ $=$ $\, \ds 4 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $15$ $\ds \map \phi {15}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 2 \times 4$ $\phi$ of $15$ $\ds \map {\sigma_1} {15}$ $=$ $\, \ds 24 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 3 \times 8$ $\sigma_1$ of $15$

$\blacksquare$

### 30

 $\ds \map {\sigma_0} {30}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $30$ $\ds \map \phi {30}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\phi$ of $30$ $\ds \map {\sigma_1} {30}$ $=$ $\, \ds 72 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 9 \times 8$ $\sigma_1$ of $30$

$\blacksquare$

### 35

 $\ds \map {\sigma_0} {35}$ $=$ $\, \ds 4 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $35$ $\ds \map \phi {35}$ $=$ $\, \ds 24 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 6 \times 4$ $\phi$ of $35$ $\ds \map {\sigma_1} {35}$ $=$ $\, \ds 48 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 2 \times 24$ $\sigma_1$ of $35$

$\blacksquare$

### 56

 $\ds \map {\sigma_0} {56}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $56$ $\ds \map \phi {56}$ $=$ $\, \ds 24 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 3 \times 8$ $\phi$ of $56$ $\ds \map {\sigma_1} {56}$ $=$ $\, \ds 120 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 5 \times 24$ $\sigma_1$ of $56$

$\blacksquare$

### 70

 $\ds \map {\sigma_0} {70}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $70$ $\ds \map \phi {70}$ $=$ $\, \ds 24 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 3 \times 8$ $\phi$ of $70$ $\ds \map {\sigma_1} {70}$ $=$ $\, \ds 144 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 6 \times 24$ $\sigma_1$ of $70$

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### 78

 $\ds \map {\sigma_0} {78}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $78$ $\ds \map \phi {78}$ $=$ $\, \ds 24 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 3 \times 8$ $\phi$ of $78$ $\ds \map {\sigma_1} {78}$ $=$ $\, \ds 168 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 7 \times 24$ $\sigma_1$ of $78$

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### 105

 $\ds \map {\sigma_0} {105}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $105$ $\ds \map \phi {105}$ $=$ $\, \ds 48 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 6 \times 8$ $\phi$ of $105$ $\ds \map {\sigma_1} {105}$ $=$ $\, \ds 192 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 4 \times 48$ $\sigma_1$ of $105$

$\blacksquare$

### 140

 $\ds \map {\sigma_0} {140}$ $=$ $\, \ds 12 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $140$ $\ds \map \phi {140}$ $=$ $\, \ds 48 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 4 \times 12$ $\phi$ of $140$ $\ds \map {\sigma_1} {140}$ $=$ $\, \ds 336 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 7 \times 48$ $\sigma_1$ of $140$

$\blacksquare$

### 168

 $\ds \map {\sigma_0} {168}$ $=$ $\, \ds 16 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $168$ $\ds \map \phi {168}$ $=$ $\, \ds 48 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 3 \times 16$ $\phi$ of $168$ $\ds \map {\sigma_1} {168}$ $=$ $\, \ds 480 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 10 \times 48$ $\sigma_1$ of $168$

$\blacksquare$

### 190

 $\ds \map {\sigma_0} {190}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $190$ $\ds \map \phi {190}$ $=$ $\, \ds 72 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 9 \times 8$ $\phi$ of $190$ $\ds \map {\sigma_1} {190}$ $=$ $\, \ds 360 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 5 \times 72$ $\sigma_1$ of $190$

$\blacksquare$

### 210

 $\ds \map {\sigma_0} {210}$ $=$ $\, \ds 16 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $210$ $\ds \map \phi {210}$ $=$ $\, \ds 48 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 3 \times 16$ $\phi$ of $210$ $\ds \map {\sigma_1} {210}$ $=$ $\, \ds 576 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 12 \times 48$ $\sigma_1$ of $210$

$\blacksquare$

### 248

 $\ds \map {\sigma_0} {248}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $248$ $\ds \map \phi {248}$ $=$ $\, \ds 120 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 15 \times 8$ $\phi$ of $248$ $\ds \map {\sigma_1} {248}$ $=$ $\, \ds 480 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 4 \times 120$ $\sigma_1$ of $248$

$\blacksquare$

### 264

 $\ds \map {\sigma_0} {264}$ $=$ $\, \ds 16 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $264$ $\ds \map \phi {264}$ $=$ $\, \ds 80 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 5 \times 16$ $\phi$ of $264$ $\ds \map {\sigma_1} {264}$ $=$ $\, \ds 720 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 9 \times 80$ $\sigma_1$ of $264$

$\blacksquare$

### 357

 $\ds \map {\sigma_0} {357}$ $=$ $\, \ds 8 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $357$ $\ds \map \phi {357}$ $=$ $\, \ds 192 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 24 \times 8$ $\phi$ of $357$ $\ds \map {\sigma_1} {357}$ $=$ $\, \ds 576 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 3 \times 192$ $\sigma_1$ of $357$

$\blacksquare$

### 420

 $\ds \map {\sigma_0} {420}$ $=$ $\, \ds 24 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $420$ $\ds \map \phi {420}$ $=$ $\, \ds 96 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 4 \times 24$ $\phi$ of $420$ $\ds \map {\sigma_1} {420}$ $=$ $\, \ds 1344 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 14 \times 96$ $\sigma_1$ of $420$

$\blacksquare$

### 570

 $\ds \map {\sigma_0} {570}$ $=$ $\, \ds 16 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $570$ $\ds \map \phi {570}$ $=$ $\, \ds 144 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 9 \times 16$ $\phi$ of $570$ $\ds \map {\sigma_1} {570}$ $=$ $\, \ds 1440 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 10 \times 144$ $\sigma_1$ of $570$

$\blacksquare$

### 616

 $\ds \map {\sigma_0} {616}$ $=$ $\, \ds 16 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $616$ $\ds \map \phi {616}$ $=$ $\, \ds 240 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 15 \times 16$ $\phi$ of $616$ $\ds \map {\sigma_1} {616}$ $=$ $\, \ds 1440 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 6 \times 240$ $\sigma_1$ of $616$

$\blacksquare$

### 630

 $\ds \map {\sigma_0} {630}$ $=$ $\, \ds 24 \,$ $\ds$ $\sigma_0$ of $630$ $\ds \map \phi {630}$ $=$ $\, \ds 144 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 6 \times 24$ $\phi$ of $630$ $\ds \map {\sigma_1} {630}$ $=$ $\, \ds 1872 \,$ $\, \ds = \,$ $\ds 13 \times 144$ $\sigma_1$ of $630$

$\blacksquare$